a加b的n次方怎麼算？

開門見山，先上問題的答案：

二項式定理

上式其實就是二項式定理。

看著一大串符號，很容易讓人發懵，就好像很艱深似的，但它其實就是一種幾個人打牌的遊戲規則而已，我們可以透過打牌的遊戲來完成對上述公式的直觀理解：

紙牌遊戲的規則是玩家手裡就兩張牌：一張

a

，另一張是

b

，各家一次只能出一張牌，出牌的順序由自己決定，先

a

，後

b

或者反過來。這張牌扔出來之後，就要和牌桌上其餘玩家出的牌相乘，然後相加。

現在遊戲開始，首先出場的是玩家

1

，這場遊戲只有他一個人完成。他非常落寞地隨便扔出一張牌，然後是另一張牌。牌桌上的結果如下：

現在甲乙兩個玩家上場，每個人手上還是隻有

a

、

b

兩張牌，我們可以對他們出牌可能的結果進行分類討論：

第一種可能：兩人都同時出

a

，牌桌上是

第二種可能：兩人都同時出

b

，牌桌上是

第三種可能：兩人出牌正好不同步，甲出

a

，乙出

b

，或者甲出

b

，乙出

a

，牌桌上就會出現

ab+ab

，也就是

2ab

。

三種情況是都有可能出現的，最後出現的結果只能是三者相加。也就是如下的完全平方式：

第三次遊戲有甲乙丙三家打牌，對出現的可能的結果，我們依舊採用分類討論的辦法：

第一種情況：大家都出

a

，牌桌出現

第二種情況：大家都出

b

，牌桌出現

第三種情況，三家不同步，三家中選出一家出

b

，另外兩家出

a

，牌桌上就會出現

或者三家中選出兩家出

b，

另一家出

a

，牌桌上就會出現

也就是下面的完全立方公式：

好，繼續我們的遊戲，現在是甲、乙、丙、丁四家上場，他們對戰出現的可能情況依舊分類如下：

第一種：四家都出

a

，牌桌上

第二種：四家都出

b

，牌桌上

第三種：四家選一家出

b

，其餘出

a

，牌桌上

四家選二家出

b

，兩家出

a

，牌桌上

四家選三家出

b

，一家

a

，牌桌上

最後的結果如下

（

按照

a

的降冪、

b

的升冪排列

）

：

同理

繼續下去，也就是增加玩家，直到增加到

n

個玩家，也就是

n

個（

a+b

）相乘，規則還是一樣，

如果大家都出

a

，則出現

大家都出

b

，出現

n

家中選一家出

b

，其餘

a

，則出現

n

家中選兩家出

b

，其餘

a

，則出現

依此類推，

n

家中選

n-1

家出

b

，一家出

a

，則

n

家中全部出

b

，則

最後牌桌上的結果就是：

這就是二項式定理。

二項式定理的應用場景也是非常多的，學校里老師們最常提及的例子，就是如何證明高一時學到的一個結論：

對於元素個數為n 的集合，其子集的個數為

當初課本的表述中只是讓同學們記住結論，但對結論怎麼來的，並沒有給出相應的說明。現在利用二項式定理，就可以很容易的解釋這個結論。

簡單推理如下：

對於含有

n

個元素的集合，

不含元素的子集有

（空集，

n

個元素中一個也不選）

含有一個元素的子集有

（

n

個元素中選一個組成集合）

含有二個元素的子集有

n

個元素中選二個組成集合）

同理，含有

n-1

元素的子集有

含有

n

個元素的子集

（也就是集合自身）

由此可知，所有這些子集個數的加和就是

N

個元素的集合的子集個數的總數：

那麼這個值又是多少呢？從二項式定理中，我們可以令：

a=1

，

b=1

，然後展開二項式定理

也就是：

完美的結論。