聽宋老師講微積分之一——數列極限

一般來說，我們認為函式是微積分的研究物件，極限方法是研究函式的方法，此乃微積分的基礎。

其實，極限概念並非數學家們的專利，它離我們每一個人都很近。比如我們說喜馬拉雅山脈是世界上最高的山脈，馬裡亞納海溝是世界上最深的海溝，蘇炳添是迄今為止亞洲跑得最快的人，小明是班裡成績最好的同學，等等，這些都可以理解為在一定範圍內的極限。

那麼，極限這個重要概念在微積分裡又是如何定義的呢？當年柯西在給微積分注入嚴密性時是這樣定義極限的，他說

“

當一個變數相繼的值無限接近於一個固定值，最終與這個固定值之差要多小就有多小時，該值就可以稱為所有其它值的極限

。

”而在數學上，通常將無限趨近於一個固定的數值稱為極限。

再說極限也並不是什麼新鮮概念，而是自古有之。早在

2000

多年前，《莊子》裡就有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”之記載，一定程度上可以“代表”我們古人極限思想的萌芽。

所謂

“一尺之棰”，也就是一根一尺長的棍棒的意思。如果我們將這根一尺長的棍棒理解為“

1

”，那麼，第一“日取其半”就是

1/2

，第二日

1/4

，第三日

1/8

，第四日

1/16

，第五日

1/32……

如此“取”下去，永遠也取不完。

明顯地，按照《莊子》裡的

“日取其半”法，我們可以寫成這樣一個數列：

1/2

，

1/4

，

1/8

，

1/16

，

1/32……

又因為“萬世不竭”，所以這種數列在數學裡被稱為無窮數列。並且，這種數列的“項”會越來越小，在數學裡又被稱為單調減少數列；反之，如果數列的“項”越來越大，則在數學裡就稱為單調增加數列。

顯然，在上面這個單調減少無窮數列中，如果數列裡的

“項”無限增加，則數列的“項”值就會無限趨向於

0

，我們就稱

0

是這個數列的極限。而在數學裡常常用一個常數（如

a

）作為某個數列的極限，無非是使用了一個符號“代表”而已。

數學裡就是常常以無限接近於某個極限來分析數列的。如果一個數列存在一個固定的極限值，我們就說這個數列有極限；反之，如果一個數列不存在一個固定的極限值，我們就說這個數列沒有極限。那麼，我們如何判斷一個數列是否存在極限呢？儘管教科書裡有關數列性質的內容有很多，但只要數列

“單調有界，必有極限”，宋老師如是說。

按照教科書的定義，如果一個函式

，定義域為全體正整數的集合N，且

N，函式值按相應順序排列成一個無窮數列

若存在常數a，對於任意給定的正數

，總存在正整數N，使得n>N，有

成立，那麼這個數列就以a為極限，記作

。

但這樣的定義似乎有些“教條”，宋老師說：“按照教科書裡的定義，對於任給的

，只要能找到一個N，使得後面所有的項n>N時，數列項的值都在以

為半徑的鄰域範圍之內，那麼a就為該數列的極限。”

例如，《莊子》“日取其半”法裡的無窮數列1/2，1/4，1/8，1/16，1/32……可以寫成

，非常明顯，隨著數列“項”的增加將會趨向於0這個固定值，那麼我們如何證明

呢？按照以上定義方法，對於任意

，要使

，有

，因

，只要

即可；對上述

，取

，（先對1/ε取整再加1），則當n>N時，

成立，所以

。

類推。你看是不是既簡單又容易呢？

學數學很難嗎？自學成材的華羅庚曾分享過學數學的心得，他說

“

要想一步登天萬難，但步步踏實，何難之有

？

”這也是宋老師常常用來勉勵同學們的話。

編撰：然好

END