論數學之美——尤拉及其對著名的巴塞爾問題的精確解（推導）

被許多人認為是“自古以來最偉大的數學家”的德國數學家、天文學家和物理學家卡爾·弗里德里希·高斯曾經說過：

研究尤拉的著作將仍然是不同數學領域的最佳流派，沒有任何東西可以取代它——卡爾·弗里德里希·高斯

圖1：卡爾·弗里德里希·高斯的肖像，被稱為“自古以來最偉大的數學家”

本文將描述瑞士數學家萊昂哈德·尤拉如何解決著名的巴塞爾問題。尤拉是歷史上最偉大的數學家之一。他還是一個多產的數學家，他的作品集共92卷。皮埃爾西蒙·德·拉普拉斯評價尤拉對數學的影響，他有一句名言：

讀尤拉，讀尤拉，他是我們所有人的主人。——皮埃爾西蒙拉普拉斯

圖2。尤拉

巴塞爾問題

1650年，義大利數學家皮埃特羅蒙格利首次提出了巴塞爾問題，1734年，尤拉解決了這個問題，讓他立即得到認可。這個問題要求自然數平方的倒數之和：

式1：巴塞爾問題

許多有影響力的數學家試圖找到平方和的倒數之和的公式。微積分的兩位共同發明人約翰·沃利斯和戈特弗裡德·萊布尼茨都曾嘗試過，但都以失敗告終。尤拉在他還年輕的時候（28歲）就解決了這個問題，他的答案讓數學界感到驚訝。他的第一個證明（後來他又提供了其他幾個證明）絕不是嚴謹的，但它的美麗、簡單和獨創性是驚人的。

圖3：巴塞爾尤拉的故鄉

尤拉的獨到見解是寫下了sinc（πx）函式：

式2

作為乘積除以它的零。

圖4：歸一化和非歸一化sinc（x）函式（分別用藍色和紅色表示）

為了理解這一點，考慮一下，例如，下面的四次多項式寫成因式分解形式：

式3

將表示式展開得到：

式4

尤拉的策略是將同樣的擴充套件應用到超越函式上。這類函式不滿足多項式方程，如公式（4）。指數函式、三角函式和對數函式是三個著名的例子。

圖5：指數函式（源）、對數函式（源）和三角函式（源）的繪圖。

sinc（πx）函式具有以下根：

式5

尤拉繼續將sinc（x）寫成與等式3中的f（x）相同的形式。使用基本的數學恆等式

由於公式5中的每個根都有一個對應的負根，所以他可以這樣寫：

式6

下一步是把方程6中的項乘起來，但只關注平方項：

公式7

泰勒級數

泰勒級數是函式的無窮項和的表示。每一項都是從函式在一個點處的導數值計算出來的。

圖6：增加泰勒級數的次數，它收斂到正確的函式。黑色的曲線表示sin（x）其他的曲線是泰勒近似，是次數為1、3、5、7、9、11、13的多項式。

圖6所示的七泰勒級數有如下代數形式：

式8：與函式sin（x）對應的幾個度的泰勒多項式。這些函式的曲線如圖6所示。

sinc（x）函式的泰勒展開式為：

式9：sinc（πx）的泰勒級數。

人們可以把公式。 8看作是一個無限次的“偽多項式”。這種偽多項式有無窮個根。方程5給出了根。

比較兩個結果

比較式7和式9，我們得到了我們想要的結果：

式10：巴塞爾問題的尤拉解

另外，尤拉的推導為我們提供了著名的沃利斯問題。把x = 1/2代入方程6，求它的倒數。我們得到：

式10

一個嚴格的證明

最後，我們將看到如何獲得尤拉結果的嚴格證明（該證明的作者是Daniel ）。考慮到：

式11：Daniel 在證明巴塞爾問題時引入的輔助功能。

（通常是用另一種形式寫的）。然後定義數字E（n）並計算它，對公式11第二次等式後的表示式進行積分：

式12：數字E（n）的定義。

很明顯，對於偶數k，右邊的和是0。因此，可以用（2k-1）代替k，只考慮E的子索引為奇數的項：

公式13：僅當E的子索引為奇數值時，才有式12

現在，為了完成證明，我們需要證明這個表示式消失了。由於這個演示非常費力，而且沒有什麼啟發性，所以我們將省略它。其結果是：

式14：證明成立的必要條件

式15：用簡單的代數運算得到最終結果。