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動態三角形中“定角鄰定邊”與其相關聯圖形的動點軌跡之內在邏輯
定邊定角怎麼判斷軌跡是圓的
動態三角形有若干種,“定角鄰定邊”又是一種。由於第三個頂點在定角的一條邊上變動,即該點(主動點)的軌跡為定角一邊所在的射線,則所“關聯圖形”中的點(從動點)亦為動態必有軌跡存在,兩者之間遵循著某種數學邏輯。透過以下三例我們一起來分析一下:
《例1》首先確定動態三角形△ABM,由已知可得:AB=4為定邊,<ABD=60度為定角兩者相鄰,點M(主動點)在邊BD所在的射線上運動,即射線BD是其軌跡,N為動邊AM的中點,此題的“關聯圖形”是一個點N,同時亦是從動點,如何確定從動點的軌跡?也取邊AB的中點E連EN,設其所在射線為L,從動點N就在定射線L上運動這就是其軌跡。
《例2》此題的動態三角形為△EBC,主動點為D,其軌跡為邊BC所在的射線(此題已限制主動點在B一C之間),“關聯圖形”為等腰直角三角形,從動點為點F,其軌跡如何確定呢?以定邊BE為腰也作等腰直角三角形△BEG連GF其所在射線L,這就是從動點F的軌跡。此題必須注意:由於從動點F所能運動到的位置限制,隨之所求FA的最值也受到了位置的限制。
縱觀《例1》與《例2》的分析過程,我們剖析了此類“定角鄰定邊”的動態三角形中,“主”與“從”兩點的軌跡之間的邏輯存在,所以不難解決《例3》問題,在《例3》確定G點軌跡後,求BG+CG的最小值,這就是“將軍飲馬”問題。
透過以上三例的分析,“定角鄰定邊”的動態三角形和與其有關聯的圖形之間運動軌跡得到剖析(這又稱“瓜豆原理”),隨之出現的最值問題也不難解決。
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