伴隨矩陣與原矩陣的秩的關係

伴隨矩陣與原矩陣的秩的關係：原矩陣秩為n，伴隨為n，原矩陣秩為n-1，伴隨為1，原矩陣秩小於n-1，伴隨為0，再補充一下，伴隨A* =1/|A| * A^-1。

一個方陣與其伴隨矩陣的秩的關係：

當r（A）=n時，|A|≠0，所以|A*|≠0，所以r（A*）=n。

當r（A）=n-1時，|A|=0，但是矩陣A中至少存在一個n-1階子 式不為0（秩的定義），所以r（A*）大於等於1（A*的定義）。

為了證明r（A*）=1，下面證明 r（A*） 小於等於1。

這裡利用公式AA*=|A|E=0，根據上次給大家總結的有關秩的結論，我們得到r（A）+r（A*）小於等於n，因為r（A）=n-1，所以 r（A*） 小於等於1 ，綜上 r（A*） =1。

當r（A）

當A滿秩時，A^-1也滿秩，所以伴隨也滿秩。

根據定義，伴隨矩陣由輔因子組成，當原始矩陣的秩為n-1時，至少有一個n-1階行列式不為0，因此，當它為1且小於n-1時時，n-1階的任何子公式都等於0，因此伴隨矩陣為0且其秩為0。

伴隨矩陣和矩陣性質：當矩陣的階數等於一階時，伴隨矩陣是一階單位平方矩陣，求解二階矩陣的公式，主要對角線元素被交換，輔助對角線單元改變符號，將矩陣分解為更簡單的矩陣或具有一定特徵的若干矩陣的和或積，矩陣分解方法一般包括三角分解、譜分解、奇異值分解、滿秩分解等。