聚點的兩個等價定義分析

聚點的定義是：點集中的一個定點，在它的任何鄰域內都有點集的無窮多個點，就稱這個定點是點集的一個聚點。它還有兩個重要的等價定義，它們分別是：

等價定義1：對於點集S，若點ξ的任何ε鄰域都含有S中異於ξ的點，即U(ξ;ε)∩S≠，則稱ξ為S的一個聚點.

用老黃自己的話說就是：如果ξ的任何鄰域上都含有S中異於ξ的點，即ξ的ε空心鄰域與S的交集永遠不是空集，就稱ξ是S的一個聚點。換言之： U（ξ；ε）中有S異於ξ的點，就有S的無窮多個點。 否則就會與聚點的原定義矛盾。

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這是一件扯不清楚的事情。如果你說其中一個空心鄰域只有S的有限多個點，那麼怎麼保證半徑更小的空心鄰域上，永遠都有S的點呢？你還別說，還真有可能，假設有一個半徑最小的空心鄰域上，有S的一個異於克西的點，那麼就能保證任意空心鄰域上都有S中異於克西的點。當然，我們找不到半徑最小的空心鄰域。所以說這些都是扯皮的。

因此老黃寧願相信，克西本身就可以表示S的無窮多個點。所以老黃說克西除了點的本質，還有區間的概念。那樣的話，不論那些空心鄰域有多少個S中異於克西的點，所有鄰域中就都一定會有S的無窮多個點了。

等價定義2：若存在各項互異的收斂數列{xn}S，則其極限lim(n→∞)xn=ξ稱為S的一個聚點.

用老黃自己的話講就是：如果S中存在各項互異的收斂數列，且數列以ξ為極限，那麼ξ就是S的一個聚點。換言之，各項互異的數列極限就是聚點。老黃上一講證明過極限就是

聚點

。似乎忘了強調各項互異這個條件了。

那麼，存在相同的項的數列極限，真的就不是聚點嗎？比如，數列中有兩個相同的項，其實並不會有任何影響。哪怕有很多相同的項，只要是有限個， 就不會影響聚點的本質。但若是有無限個相同的項，甚至本身就是一個常數項呢？按教材的定義，ξ就不再是

聚點

了。這其實是

聚點

的定義所決定的。然而老黃對此保留質疑的態度。這大概是因為把常數列的極限當做聚點，無益於高等數學的繼續深入探究吧。保留質疑，對我們接下來的探究，也是有益的。

假如我們可以把“數列極限就是相關點集的聚點”當做一個定理，那樣更符合科學探究的統一性追求。在很多地方的應用也會變得更加方便。如果每次判斷數列有極限是否點集的聚點都要附加說明，該數列沒有相同的項，或者特別說明，不是常數列，其實也是蠻麻煩的。特別是在有一個“端點數列”是常數列的區間套中，需要專門排除這種情況，是很不科學的。所以，老黃建議，人為規定“常數列的極限，也是一個聚點”。你覺得呢！