深度科普：帶你優雅地推導洛倫茲變換（完整版）

本文較為硬核，請酌情跳過部分內容。

不過，若是你真對洛倫茲變換感興趣，我建議你看完全文。

推導洛倫茲變換並不需要非常高深的數學知識，請相信自己，你可以理解這個推導過程。

不過有很多人宣稱自己懂狹義相對論，但是他們根本就沒見過

完整的

洛倫茲變換，而且他們知道的那點殘缺的洛倫茲變換還是以一種極為醜陋的形式表達的。

至於筆者是否是在譁眾取寵，相信各位讀者在讀完此文之後自有定奪。

本文的主要內容有：

你真的見過洛倫茲變換嗎？

如何優雅地推導洛倫茲變換？

如何洞察變化之中的不變？

變換：空間與空間

變換：空間與時間

完整的洛倫茲變換！

你真的見過洛倫茲變換嗎？

這是一個簡單的測驗：

什麼，你不知道？

或者，你覺得這樣的“尺縮效應”和“尺伸效應”是胡扯？

那說明現在的你對洛倫茲變換幾乎一無所知，你更應該好好讀一讀這篇文章。

如何優雅地推導洛倫茲變換？

既然要推導洛倫茲變換，那必然要從光速入手，光速確實非常特殊。

那麼，“優雅”二字從何而來？

同樣是從光速入手，為光速建立不同的物理圖景會讓物理公式的推導過程有著雲泥之別。

為了建立一個好的物理圖景，請各位讀者思考一下：

光速究竟特殊在哪裡？

有很多資料會提到光速不隨光源的運動而改變，但這純粹就是一句廢話，根本就沒抓住重點。畢竟，

聲速也不隨聲源的運動而改變

。

想要理解光速的特殊之處，就需要把光速與聲速作比較。說得再全面一點，就是把光波與聲波作比較。

請大家注意，要為“波”建立一個正確的物理圖景，波通常都是

球面波

，向四面八方傳播。光波如此，聲波也如此。

所謂球面波，就是指波源在同一時間發出的波，都分佈在一個球面上。隨著時間的推移，這個球面的半徑會越來越大。

可以把這個球面稱為

波面

，波面隨著時間推移而擴張，波面向各個方向擴張的速度就是

波速

。

如果波源靜止，觀察者也靜止，那麼波面向各個方向擴張的速度都是相同的，也就是說觀察者測量到的各個方向的波速都是相同的。

光波如此，聲波也如此。（這裡的靜止，是相對於聲波的介質靜止。）

“重頭戲”來了！

如果波源靜止，觀察者向波源運動呢？

對於聲波，觀測者會更早地接收到向它傳播的聲波，所以他測量到的各個方向的聲速不再相同。

而對於光波，光速始終是光速，觀測者測量到的各個方向的光速依然是相同的！

是時候為“光速不變”建立一個好的物理圖景了：

無論參考系怎樣改變，光波的波面始終是向各個方向均勻擴張的球面。

這就要求不同的參考系之間的變換遵循著某種規則，這種規則就是

洛倫茲變換

，它可以讓“球”依然是“球”。

是時候新增數學了：

要讓“球”依然是“球”，首先要用數學語言描述“球”。

把球面放在座標系中，讓球心和座標原點重合：

而球面上的點有一個性質，它們到球心的距離都相同。在座標系中，它們到座標原點的距離都相同（這個距離可以用

勾股定理

計算）。

如果球面的半徑是R，那麼就可以用一個公式描述球面上的所有點，這也就描述了整個球面。

而光波的波面在擴張，它的半徑隨著時間推移而增大。

光波波面上的每個點都可以用一組座標（x，y，z，t）來表示。每個座標系都是在特定的參考系中建立的，如果參考系改變，那麼座標系也會跟著改變，光波波面上的點的座標也都會改變。

舊的座標和新的座標之間有一個明確的關係，這個關係就是不同座標系之間的變換規則，也就是不同參考系之間的變換規則。

在純粹的數學中，這種變換規則可以隨意選擇；但是在現實中，只有一種變換規則是可以實現的，那就是可以保證“

無論參考系怎樣改變，光波的波面始終是向各個方向均勻擴張的球面。

”的變換規則，這種變換規則就是洛倫茲變換，讓“球”依然是“球”的變換。

上面這兩個公式就是“

無論參考系怎樣改變，光波的波面始終是向各個方向均勻擴張的球面。

”的數學版本。

請牢記上面加粗這一句話，它已經在本文中出現了三次；也請牢記上面的兩個公式，洛倫茲變換的奧秘就隱藏在其中。

如何洞察變化之中的不變？

一旦參考系改變，座標系也會跟著改變，光波波面上某一點的4個座標（x，y，z，t）也都可以改變，但是光波的波面方程卻不變，這就需要我們洞察“變化之中的不變”。

至少要同時改變2個座標，讓它們的變化“相互抵消”，才有可能使光波的波面方程不變。

在4個座標中任取2個座標，透過一些

恰到好處

的參考系變換，就可以只讓這2個座標在參考系改變時發生變化，這將會大大簡化問題。而且，4個座標都變化時，也可以認為是多次進行 2個座標的變換的結果！

（但願此刻的你會拍案叫絕。）

這就會有6種選擇方案：

所以，參考系（座標系）改變時，我們需要考慮的變換隻有兩類：

空間與空間的變換

空間與時間的變換

變換：空間與空間

（上面這個操作只是為了讓問題更明顯地呈現出來。）

也就是說參考系的變換隻讓光波波面上的點的2個空間座標發生了變化。

這時候就需要藉助一些直觀的影象了：

同一個圓在兩個不同的座標系中的樣子都是一樣的，那麼這兩個座標系之間的變換規則是什麼？

答案很簡單：繞座標原點轉動座標系，也就是簡單的

空間轉動

。

找到圓上某一點的

新座標

和

舊座標

之間的關係，就找到了具體的變換規則（也就是洛倫茲變換的一部分內容）。

如果轉動的半徑是R，那麼：

還可以把這個變換用矩陣表達：

矩陣的計算並不複雜，我相信你可以發現規律：

由此可以得到3個空間轉動變換，分別表示參考系繞z軸、x軸、y軸轉動。

（你會喜歡用矩陣表達洛倫茲變換的，它非常清晰、簡潔，這才是優雅的表達。）

還記得本文開篇的那個小測試嗎？

這裡的3個變換就是在描述那個“尺縮效應”和“尺伸效應”。（同時也是想暗示大家，經常被傳得神乎其神的“鐘慢尺縮”也只是一種測量的錯覺。）

雖然這一組變換看起來沒那麼“高大上”，實際上也只是簡單的空間轉動，但它們卻是洛倫茲變換不可缺少的一部分。

沒有

空間轉動

的洛倫茲變換是不完整的，至於這種“不完整”到底對洛倫茲變換有多大的影響，本文的最後會給出答案。

變換：空間與時間

依葫蘆畫瓢，參考系的變換隻讓光波波面上的點的1個空間座標和1個時間座標發生了變化。

它們都是雙曲線：

情況有些不妙，繞座標原點轉動座標系不能讓雙曲線在座標中的位置不變，注意，這裡和圓不一樣，如果是圓，把座標系繞座標原點轉動任意角度，圓在座標中的位置都不變，但是雙曲線不行。

此時就需要一些靈感：

這就把雙曲線變成了圓！

我們可以直接套用空間轉動的變換：

可以把這個變換稱為：

洛

倫茲推進

（Lorentz boost），也可以稱其為：偽轉動、贗轉動、雙曲轉動。

不過還有一件大事，這個“洛倫茲推進”到底有什麼物理意義？

為了尋找物理意義，我們只需要知道上面的“洛倫茲推進”只是告訴我們正確的變換公式應該有這樣的形式：

它與

伽利略變換

有些聯絡，都含有時間。伽利略變換長這樣：

所以“洛倫茲推進”中暗含的有物理意義的量應該是不同參考系之間的相對速度。當參考系的相對運動速度v遠遠小於光速c時，這兩個公式是相同的：

一個思路是：

（沒錯，就是“猜”，所有的物理公式都是“猜”出來的。）

這樣的變換可以保證“球”依然是“球”嗎？

很可惜，不能。

不過這已經很接近正確的變換了，只是讓“球”的尺寸變化了，只要在變換公式中乘一個表示尺寸變化的因子，就可以得到正確的變換：

這其實就是經常在各種教科書、科普作品中出現的那種“洛倫茲變換”，你之前經常見到的“洛倫茲變換”其實只是“洛倫茲推進”。

也可以把此時的“洛倫茲推進”寫成矩陣形式：

相應的，也可以得到3個“洛倫茲推進”，分別表示參考系在x軸、y軸、z軸方向的運動。

只有“洛倫茲推進”的洛倫茲變換也是不完整的，至於這種“不完整”到底對洛倫茲變換有多大的影響，即將揭曉答案。

完整的洛倫茲變換！

洛倫茲變換包含6個變換，可以分為2類：

3個普通的空間轉動

3個“洛倫茲推進”

並且，3個空間維度和1個時間維度應該被看成一個整體。

3個空間轉動：

3個“洛倫茲推進”：

這6個變換構成了

完整的

洛倫茲變換！

為什麼說它完整？

因為它們構成了一個

洛倫茲群

！

以下內容過於複雜，筆者也說得過於簡略，大家讀完之後，能從“不知道自己不知道”達到“知道自己不知道”就可以了。

洛倫茲群是一個廣義正交群，含有6個群生成元，也就是上面總結的6個變換，洛倫茲群中的所有元素都可以由這6個生成元衍生出來。它們是保持閔氏時空原點不變的所有等距變換構成的群。

群論是描述對稱性的語言，狹義相對論是物理規律的對稱性的產物，瞭解了洛倫茲群（至少要知道有洛倫茲群這麼個概念）才算是真的對狹義相對論有了一些瞭解。

不要怕面對自己的無知，時刻意識到自己的無知是一種基本的科學素養。