簡述代數學的發展歷程

下文轉自‘科學演繹法’，［遇見］已獲授權在百家號釋出。

代數是一個較為基礎的數學分支。它的研究物件有許多，諸如數、數量、代數式、關係、方程理論、代數結構等等，就是說不僅是數字，還有各種抽象化的結構。例如整數集作為一個帶有加法、乘法和序關係的集合就是一個代數結構。在其中我們只關心各種關係及其性質，而對於“數本身是什麼”這樣的問題並不關心。

這篇文章中一起快速回顧代數發展的那些重要時刻：

● 公元前 1800 年左右，舊巴比倫斯特拉斯堡泥板書中記述其尋找著二次橢圓方程的解法。

● 公元前 1600 年左右，普林頓 322 號泥板書中記述了以巴比倫楔形文字寫成的勾股數列表。

● 公元前 800 年左右，印度數學家包德哈亞那在其著作包德哈爾那繩法經中以代數方法找到了勾股數，給出了線性方程和如 ax=c 與 ax+bx=c 等形式之二次方程的幾何解法，且找出了兩組丟番圖方程組的正整數解。

● 公元前 600 年左右，印度數學家阿帕斯檀跋在其著作‘阿帕斯檀跋繩法經’中給出了一次方程的一般解法和使用多達五個未知數的丟番圖方程組。

● 公元前 300 年左右，在幾何原本的第二卷裡，歐幾里德給出了有正實數根之二次方程的解法，使用尺規作圖的幾何方法。此一方法是基於幾何學中的畢達哥拉斯學派。

● 公元前 300 年左右，倍立方的幾何解法被提了出來。現已知道此問題無法使用尺規作圖求解。

● 公元前 100 年左右，中國數學書《九章算術》中處理了代數方程的問題，其包括用試位法解線性方程、二次方程的幾何解法及用相當於現今所用之消元法來解線性方程組。還應用一次內插法。

● 公元前 100 年左右，寫於古印度的巴赫沙利手稿中使用了以字母和其他符號寫成的代數標記法，且包含有三次與四次方程，多達五個未知道的線性方程之代數解，二次方程的一般代數公式，以及不定二次方程與方程組的解法。

● 公元 150 年左右，希臘化埃及數學家希羅（又稱海倫）在其三卷數學著作中論述了代數方程。

● 200 年左右，希臘化巴比倫數學人丟番圖，他居住於埃及且常被認為是“代數之父”，寫有一本著名的算術，此書為論述代數方程的解法及數論之作。

● 不晚於 473 年，《孫子算經》提出中國剩餘定理。

● 499 年，印度數學家阿耶波多在其所著之阿耶波多書裡以和現代相同的方法求得了線性方程的自然數解，描述不定線性方程的一般整數解，給出不定線性方程組的整數解，而描述了微分方程。

● 600 年劉焯編制《皇極曆》曾用等間距內插法。

● 625 年左右，中國數學家王孝通在《緝古算經》找出了三次方程的數值解。

● 628 年，印度數學家婆羅摩笈多在其所著之梵天斯普塔釋哈塔中，介紹了用來解不定二次方程的宇宙方法，且給出瞭解線性方程和二次方程的規則。他發現二次方程有兩個根，包括負數和無理數根。

● 724 年，僧一行用不等間距內插法計算《大衍曆》。

● 820 年，代數（algebra）導源於一個運算——指的是將一項從等式的一側移動到另一側的操作，其描述于波斯數學家花拉子米所著之完成和平衡計算法概要中對於線性方程與二次方程系統性的求解方法。花拉子米常被認為是“代數之父”，其大多數的成果簡化後會被收錄在書籍之中，且成為現在代數所用的許多方法之一。

● 850 年左右，波斯數學家 al-Mahani 相信可以將如加倍立方體問題等幾何問題變成代數上的問題。

● 850 年左右，印度數學家摩訶吠羅解出了許多二次、三次、四次、五次及更高次方程，以及不定二次、三次和更高次方程的解。

● 990 年左右，波斯阿爾卡拉吉在其所著之 al-Fakhri 中更進一步地以擴充套件花拉子米的方法論來發展代數，加入了未知數的整數次方及整數開方。他將代數的幾何運算以現代的算術運算代替，且定義了單項式 x、x、x、…和 1/x、1/x、1/x、…等並給出上述任兩個相乘的規則。

● 1050 年左右，中國數學家賈憲用賈憲三角形找到了多項式方程的數值解。

● 1072 年，波斯數學家歐瑪爾·海亞姆發展出來代數幾何，且在 Treatise on Demonstration of Problems of Algebra 中給出了可以以圓錐曲線相交來得到一般幾何解之三次方程的完整分類。

● 1090 年左右，北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中給出高階等差級數的和。

● 1114 年，印度數學家婆什迦羅在其所著之代數學‘中，認知到一正數會有正負兩個平方根，且解出一個以上未知數的二次方程、許多三次、四次及更高次多項式方程、佩爾方程、一般的不定二次方程，以及不定三次、四次及更高次方程。

● 1150 年，婆什迦拉在其所著之 Siddhanta Shiromani 中解出了微分方程。

● 1202 年，代數傳到了歐洲，斐波那契所著的計算之書對此有很大的貢獻。

● 1247 年南宋數學家秦九韶在《數書九章》中用秦九韶演算法（即“霍納法演算法”）解一元高次方程。

● 1248 年，金朝數學家李冶的《測圓海鏡》利用天元術將大量幾何問題化為一元多項式方程，是一部幾何代數化的代表作。

● 1300 年左右，中國數學家朱世傑處理了多項式代數，發明四元術解答了多達四個未知數的多項式方程組，發明非線性多元方程的消元法，將相關多項式進行乘法、加法和減法運算，逐步消元，將多元非線性方程組化為單個未知數的高次多項式方程；並以數值解出了 288 個四次、五次、六次、七次、八次、九次、十次、十一次、十二次、和十四次次多項式方程。朱世傑發展了垛積術，給出多種高階等差級數求和公式。

● 1400 年左右，印度數學家瑪達瓦找到了以重複來求超越方程的解法，求非線性方程解的疊代法及微分方程的解法。

● 1515 年，費羅求得了沒有兩次項之三次方程的解。

● 1535 年，塔爾塔利亞求得了沒有一次項之三次方程的解。

● 1545 年，卡爾達諾出版了大術一書，書中給出了各種三次方程的解法和其學生費拉里對一特定四次方程的解法。

● 1572 年，拉斐爾·邦貝利認知到三次方程中的復根並改進了當時流行的符號。

● 1591 年，弗朗索瓦·韋達出版了分析方法入門一書，書中發展出了更為良好的符號標記，在未知數不同的次方上。並且使用母音來表示未知數而子音則用來表示常數。

● 1631 年，托馬斯·哈里奧特在其死後的出版品中使用了指數符號且首先以符號來表示“大於”和“小於”。

● 1682 年，萊布尼茨發展出他稱做一般性特徵（characteristica generalis）之形式規則的符號操作概念。

● 1683 年，日本數學家關孝和在其所著之 Method of solving the dissimulated problems 中發明了行列式、判別式及伯努利數。

● 1685 年，關孝和解出了三次方程的通解，及一些四次與五次方程的解。

● 1693 年，萊布尼茨使用矩陣和行列式解出了線性方程組的解。

● 1750 年，加布里爾·克拉默在其所著之 Introduction to the analysis of algebraic curves 中描述了克萊姆法則且研究了代數曲線、矩陣和行列式。

● 1830 年，伽羅瓦理論在埃瓦里斯特·伽羅瓦對抽象代數的工作中得到發展。