肥皂泡上隱藏百年難破解數學問題，被稱里程碑式研究

明敏 發自 凹非寺

量子位 | 公眾號 QbitAI

沒想到，小小肥皂泡放到數學家手上，也能變成綿延幾百年的大難題。

想象一下，吹出一個泡泡（假定體積不變），什麼情況下它的表面積是最小的？

想必大部分人都會想到

標準球體

這個答案。

早在2000多年前，希臘數學家芝諾多魯斯也斷言一定如此。

巴特，眾所周知只寫答案不給分，重要的是論證過程。

結果這一論證就花費了上千年，直到19世紀末，數學家施瓦茨才證明出

球的表面積比相同體積的任何其他物體都要小

。

但這還只是單個泡泡啊，兩個？三個？乃至更多呢？它們的最小表面積情況是怎樣的？又該如何計算？

隨著氣泡數量增加，論證的複雜難度、牽扯出的數學知識都直線上升。

等論證出雙氣泡大小一致時總表面積最小，已經

2002年

了。

2007年，美國數學學會副會長弗蘭克·摩根（Frank Morgan）推測，想要論證3個氣泡的情況，恐怕要再等

一百年

了。

而就在最近，兩位數學家利用

去年休假

的時間，把這事兒給搞定了！

透過論證數學家沙利文提出的猜想，伊曼紐爾·米爾曼（Emanuel Milman）和喬·尼曼（Joe Neeman）解決了3、4個氣泡的問題，甚至還在研究更加複雜的情況。

研究一經報道迅速引起熱議，Reddit上熱度超過

800

。

當年提出預測的弗蘭克·摩根評價道，他們提出的是一種全新的方法，這是里程碑式的研究！

如何論證？

簡單來說，這次突破是對此前一項猜想的論證。

柏林工業大學教授

約翰·馬修·沙利文

（John Matthew Sullivan）在上世紀90年代提出，只要氣泡數量比空間維度大1個，就會有一種特殊的最佳方式來包住這些氣泡，這種方式下投射出的氣泡陰影，將會對應表面積最小的情況。

按照沙利文提出的方法，作者在二維平面上建立了一個三氣泡叢集（這時的“氣泡”不是立體物體）。

首先，在一個球體上選擇四個點，它們之間的距離都是一樣的。接下來以這些點為中心吹4個氣泡，直到它們相互擠壓、覆蓋整個球體表面。

然後把這個球體放在一個無限平面上，假設它是透明的，在球體正上方設定一個點光源，這時四個氣泡之間接觸的表面，就會在平面上投射出影子。

影子形狀即為3個在平面上的“氣泡”。點光源不變、旋轉球體，影子形狀還會發生變化。

結合此前研究，透過測量投影的資料，即可計算出氣泡精確的表面積。

實際上在2018年時，米爾曼和尼曼便論證了沙利文猜想的一個類似版本。

當時他們把空間中的每個點視為是有價值的，原點是最貴的地方，離原點越遠越便宜，由此形成一個鐘形曲線。

假設在確定價格的情況下圍著原點建圍牆，要求成本最小化，由此來計算論證。

這項研究當年刊登在了數學領域頂刊《數學年鑑》上，併為解決計算機科學領域噪聲敏感性問題提供了參考。

之後，他們開始了更為深入的探索，幾年下來關於這一想法的筆記已經超過200頁。

但進展並沒有想象中的順利，嘗試的很多方向都失敗了。

以至於最後，兩個人是利用休假時間來搞定的專案——

畢竟假期是嘗試高風險、高收益型別專案的好時機（doge）。

目前，米爾曼是以色列理工學院數學系教授，研究方向為分析幾何。

尼曼是德克薩斯大學奧斯汀分校的助理教授，研究領域有機率、幾何不等式、隨機圖等。

One More Thing

要說數學家研究吹泡泡這件事，其實由來已久，現在已經發展為一個嚴肅的研究方向。

這些研究的特點往往是：看起來簡單、直覺上是對的，但是想要論證非常困難。

比利時物理學家普拉託在1873年出版了一本450頁的著作《僅置於分子力之下的液體之靜力學》，是泡泡研究中的經典之作。

以他名字命名的普拉託定律，也是很多泡泡研究的基礎，該定律指出：

1、肥皂泡由光滑曲面組成；

2、肥皂泡的任一部分的平均曲率，在同一片膜上的每一點都是常數；

3、肥皂泡交介面一定是由三個表面相接構成的三條曲線，稱為普拉託邊界，交接兩兩表面形成的平面夾角都是120度；

4、普拉託邊界相交一定是由4條邊界相交構成一個交點，在交點處，四個邊界線兩兩之間的夾角都相同，等於109。47度。

如果肥皂泡的構成不符合這一定律，它便是不穩定的，很快會破裂或者慢慢變化為符合普拉託定律的結構。

而如果想要用數學方法論證這些定律，需要掌握的知識有微分幾何、幾何測度論等……

雖然直觀來看，這些證明貌似然並卵，但實際上它對於理解數學、物理、探索最最佳化問題，都有很大啟示意義。

參考連結：

［1］https：//www。quantamagazine。org/monumental-math-proof-solves-triple-bubble-problem-and-more-20221006/

［2］https：//www。reddit。com/r/math/comments/xxad0l/monumental_math_proof_solves_triple_bubble/