數學方程有什麼好解的？

數學裡面有許多物件和結構，我們想對它們做些什麼。 例如，給出了一個數，我們會按照上下文去把它加倍、求平方或者求倒數；給定了一個適當的函式，我們可能想去微分它；給定了一個幾何圖形，我們可能會想去作變換等等。

如果我們定義了一個數學程式，那麼去發明執行這個程式的技巧就是一個很顯然的數學計劃。這就會引出關於這個程式的所謂的

直接問題

。然而，還有一類更深刻的所謂

反問題

，其形式如下。假設給出了程式，和執行程式所得到的答案，那麼能不能搞清楚

這個程式是作用在什麼數學物件上的？

舉一個例子會非常清楚，假如我告訴你，有一個數，把它平方，結果是9。你能不能告訴我這個數是什麼？很簡單，答案是3或者-3。

如果想更加形式化地討論這個問題，就會說，剛才是在研究方程x^2=9，而且發現它有兩個解。這樣的例子提出了三個一般問題：

一個方程是否有解？

如果有，是否恰好有一個解？

這些解在什麼樣的集合之內？

前兩個問題稱為解的存在與唯一性問題。第三個問題在方程 x^2=9的情況下沒有太大的意義，但是在更復雜的情況下，例如對於偏微分方程，就可能是很重要的問題。

用更抽象的語言來說，設f是一個函式，面前就是這樣一個命題，其形式是f（x）=y，直接問題就是給定了x求y，反問題則是給定了y求x，這個反問題就叫做解方程式f（x）=y。

關於求解這種形式的方程式的問題與函式f的可逆性問題密切相關

。

因為x和y可能是比數一般得多的物件，解方程式的概念本身也就是非常一般的，因此也就是數學的中心問題之一。

線性方程

小學生們最初遇見的方程典型地就是像2x＋3=17這樣的方程。要解這樣簡單的方程，我們把x看成未知數，而未知數也得服從算術通常的法則。利用這些法則，就可以把這個方程化為簡單得多的方程∶從方程兩邊減去3，就得到2x=14，再用2除這個新方程的兩邊，就得到x=7。我們實際上證明了∶如果有某個數 x，使得 2x＋3=17，那麼這個數一定就是7。我們還沒有證明的是∶確實有這樣的數x。 所以，嚴格地說，還應該有下一步，即驗證2×7＋3=17。這裡，它顯然是對的，但是對更加複雜的方程，相應的論斷就不一定總是對的，所以最後這一步還是重要的。

方程2x＋3=17稱為

線性方程

。這是因為作用在x上的函式（乘以2，然後再加3）是一個線性函式。正如剛才看到的，只含一個未知數的線性方程是容易解的，但是如果要解多於一個未知數的方程，情況就要複雜些了。考慮含有兩個未知數的方程的典型例子，即方程3x＋2y=14。這個方程有許多解，選定一個y 以後，就可以令

於是就有了一對（x，g）滿足這個方程。要想使問題更難一點，可以再加一個方程，例如5x＋3y=22，然後試著同時解出這兩個方程。 這時的結果又是隻有一個（一組）解x=2以及y=4。一般情況下，含兩個未知數的兩個線性方程恰好有一組解。如果從幾何來看這個情況，這是很容易理解的。形如ax＋by=c的方程是xy平面上一條直線的方程。兩條直線正常地交於一個點，例外情況是這兩條直線相同，這時它們交於無窮多個點，或者它們平行，這時它們根本不相交。

如果有好幾個含有幾個未知數的方程，把它們看成

含有一個未知的東西的一個方程

，在觀念上會簡單一些。這聽起來完全不可能，但是，如果允許這個未知的東西是一種更復雜的物件，卻是完全可能的。例如3x＋2y=14和5x＋3y=22這兩個方程可以寫成單個含有矩陣和向量的方程

如果用

A

表示上面的矩陣，

x

表示未知的向量，

b

表示已知的向量，則這個方程變為

Ax=b

，它看起來要簡單多了，儘管在事實上只是把複雜性隱藏在符號裡面了。

然而這個過程可不只是“把垃圾掃到地毯下面藏起來”，而是還有更多的東西。一方面，簡單的符號固然掩蓋了這個問題的許多特定的細節，另一方面卻也把一些本來看不出來的東西揭示出來了：有一個從

R

^2到

R

^2的線性對映，想要知道的是哪一個向量

x

被映為向量

b

（如果有這樣的向量的話）。如果遇到的是一個特定的聯立方程組的話，這並有太的區別，我們需要做的計算還是一樣的。但是如果希望作一般的推理，那麼含有單個未知向量的矩陣方程就比含有幾個未知數的聯立的方程組要容易考慮得多。這個現象會出現在整個數學中，而且是研究高維空間的主要方法。

多項式方程

我們剛才討論了線性方程從一個未知數到多個未知數的推廣。推廣它們的另一個方向是把線性方程看成是1次多項式，而考慮更高次數的函式。例如在中學裡，我們就學習過怎樣解諸如

這樣的二次方程式。更一般的多項式方程形如

解這樣的方程，就是求x的值滿足這個方程。 這似乎是一件很顯然的事，但是在遇到簡單如

這樣的方程的時候，就並不如此顯然。這個方程的解是

那麼，什麼是

根號2

呢？它的定義就是平方以後等於2的正數。但是說x等於正的或負的且平方以後為2的數，似乎還沒有把這個方程“解”出來。即使說x=1。4142135…也不能完全令人滿意，因為這只是把一個沒有盡頭的式子寫出了開頭一小段，而且也看不出來這個式子裡有什麼可以辨別出來的模式。

從這個例子可以得到兩個簡介：

其一是，對於一個方程，要緊的時常是解的存在與性質，而不是是否能找到解的公式。

雖然當我們說

並沒有讓我們學到什麼，但是這個論斷中確實包含了一個事實∶

2有平方根

。這一點通常是作為所謂

中間值定理

的推論而提出的。這個定理指出，若f是一個連續的實值函式，而f（a）和f（b）各在零的一側，則在 a，b之間的某處，一定有一個實數c使得f（c）=0。這個結果可以用於函式f（x）=x^2-2，因為f（1）=-1，而f（2）=2。所以在1，2之間一定有一個x 使得x^2-2=0。對於許多目的，知道這個x的存在，再加上知道定義這個x的性質使它為正且平方以後為2，這就足夠了。

用類似的論證，就知道所有的正實數都有正平方根。但是當我們試圖解更加複雜的二次方程時，情況就不一樣了。這時有兩條途徑可供選擇。例如考慮方程

我們會注意到，當x=4時，它的值是-1，而當x=5時，其值是2，由此從中間值定理就知道，這個方程在4與5之間有一個解。但是如果用配方法，

就會得到兩個解，這比利用中間值定理得到的資訊要更多。我們已經證明了根號2的存在，而且知道其值在1和2之間。現在不僅是知道了方程x^2-6x＋7=0有一個解在4和5之間，而且還知道了這個解與方程x^2=2的解有密切的關係，甚至可以說，這個解正是從方程x^2=2的解構造出來的。

這就證明了求解方程還有第二個重要的方面，那就是在許多情況下，

解的顯式的可解性是一個相對的概念

。只要給了方程x^2=2的一個解，在求解比較複雜的方程x^2-6x＋7=0時，就不再需要從中間值定理得到什麼新的輸入，需要的就僅僅是一點代數而已。

但是這個表示式裡的根號2 就不是由一個顯式公式來定義，而是作為一個實數而定義的。這個實數有一些性質，而我們可以證明其存在。

解更高次的多項式方程比解二次方程要難得多，而且由此產生了許多吸引人的問題。特別是，求解三次或四次方程有複雜的公式，但是幾百年來求解五次以及更高次的方程就一直是一個未解決的著名問題，直到19世紀，阿貝爾和伽羅瓦才證明了顯式解的公式是找不到的。

多變元的多項式方程

設有這樣的方程

我們可以看出來它有許多解∶如果固定x和y，就得到一個z的三次多項式方程，所有的三次多項式方程都有（至少一個）實解，所以對於每一個固定的x和y，都有某個 z 使得三元組（x，y，z）成為這個方程的解。

因為三次方程解的公式十分複雜，準確地描述所有這些三元組（x，y，z）的集合就沒有什麼意義。但是，若把解的這個集合看成一個幾何物件，

即空間裡的一個2維曲面

，並且考慮一些關於它的定性的問題，就可以從中學到不少東西。例如我們可能希望瞭解其大體的性質如何，用拓撲學的語言，可以把這些問題說清楚。

當然還可以進一步推廣來考慮幾個多項式方程的同時求解。理解這些方程組的解集合屬於

代數幾何

的領域。

丟番圖方程

一個特定的方程是否有解，需視允許在何處求解而異。如果只允許x為實數，則方程x^x＋3=0就沒有解，但是在複數裡，它就有兩個解。 方程x^2＋y^2=11有無窮多個解，但是如果求x和y都是整數，這個方程就沒有解。

上面的例子是典型的丟番圖方程，凡見到這個名詞就表示要求它的

整數解

。最著名的丟番圖方程就是費馬方程

感謝懷爾斯的工作，現在已經知道當n大於2時，它沒有正整數解，與此形成對照，方程x^2＋y^2=z^2卻有無窮多個整數解。現代的代數數理論的很大一部分都是在直接或者間接地討論丟番圖方程。正如對於實數或複數的方程一樣，討論丟番圖方程解的集合的結構是富有成果的，這類研究屬於

算術幾何

的領域。

丟番圖方程的一個值得注意的特點是它們極為困難。所以自然地會懷疑，對於它們是否可能有一個

系統的處理方法

，這是希爾伯特在1900年提出的著名問題清單中的第10個問題。但是一直到1970年Yuri Matiyasevich才指出，這個問題的回答是否定的。

這個問題的解決，重要的一步是在1936年由丘奇和圖靈做出的。只是透過（以兩種不同的方法）把演算法概念形式化，從而把“

系統地處理

”這個概念弄清楚以後，才走出了這一步。在計算機時代以前，這是不容易的，但是我們現在卻可以把希爾伯特第10問題的解決重述如下∶

想找一個計算機程式使得在輸入任意的丟番圖方程後，如果這個方程有解，它就一定會輸出“YES”，無解的時候就一定會輸出“NO”，而且從不出錯，這是做不到的。

關於丟番圖方程，這告訴了我們什麼呢？我們再也不能夢想會有一個囊括所有這種方程的最終的理論，相反，我們被迫集中注意於這種方程的特殊的類別，並且對它們發展不同的解法。如果不是因為丟番圖方程與數學的其他部分的很一般的方程有值得注意的聯絡，這似乎會使得在解決了最初幾個方程以後，丟番圖方程就沒有趣味了。

例如方程

看起來很特殊，事實上，它所定義的橢圓曲線卻是現代數論（包括費馬大定理的證明）的中心問題。當然費馬大定理本身也是一個丟番圖方程，但它的研究又導致了數論的其他部分的重大發展。應該得出的正確的結論可能是∶解一個特殊的丟番圖方程，如果其結果不只是在已經解決的方程清單上再新增一個而已，那麼，它是吸引人的，是值得去研究的。

微分方程

迄今為止，我們考慮的方程都是以數或n維空間的一點為未知的東西的。要生成這樣的方程，我們作算術的基本運算的不同組合，然後把它們施加到未知的東西上去。

下面給出兩個著名的微分方程以便與過去討論過的方程作比較∶

第一個是

“常”微分方程

，是簡諧運動方程，它有通解

第二個是

“偏”微分方程

，是熱方程。

有許多理由說明求解微分方程在精巧性上是一個飛躍。

一個理由在於，現在

未知的東西是函式

，它比數或者 n 維空間的點複雜得多。

第二個理由是，施加於函式上的運算微分和積分，它們遠不如加法和乘法那麼“基本”。第

三個理由是，微分方程，哪怕是很自然很重要的方程，可以用“封閉形式”解出的，就是用一個公式來表示未知函式f的，只是例外而非常規。

現在回到第一個方程，

這意味著微分方程可以看成是一個矩陣方程推廣到無窮多維的情況。熱方程也有同樣的性質∶如果定義

Ψ

（T）為

則

Ψ

是另一個線性對映。這種微分方程稱為線性的，它們與線性代數明顯的聯絡使得它們容易求解得多，這方面一個有用的工具是

傅立葉變換

。

那些更加典型的方程，即不能用封閉形式解出的方程又如何？那時，焦點就又一次轉移到是

否有解存在

？如果有，它們又有哪些性質？和多項式方程一樣，這要依賴於把什麼當成是可以允許的解。有時，我們就像又處在研究方程x^2=2時的境地∶證明解的存在並不難，只需要給它取一個名字就行了。方程

就是一個簡單的例子。在某種意義下，它是不能解出來的，可以證明，找不到一個由多項式、指數函式、三角函式等的“基本的”函式構建出來而微分以後又會得到e^（-x²）的函式。然而在另一種意義下，這個方程又很容易求解，只需要把函式e^（-x²）積分一下就行了，所得到的函式就是正態分佈函式。這個函式在機率論裡面有基本的重要性，所以就給了它一個名字（記號）：

在絕大多數情況下，寫出解的公式是沒有希望的事情。一個著名的例子是三體問題∶給出空間裡的三個運動的物體（質點），並設它們以引力互相吸引，問它們會怎樣繼續運動？用牛頓定律可以寫出描述這一情況的微分方程。對於兩個運動著的物體，牛頓解出了相應的方程，並由此解釋了為什麼行星繞太陽沿橢圓軌道運動，但是對於三個或更多的物體，這些微分方程被證明是非常難解的。現在已經知道了，這種難解的情況有很深刻的理由∶這時，這些微分方程會導致

混沌性態

。然而，這就打開了研究混沌和穩定性這些非常有趣的問題的大道。

有時候，有方法證明解是存在的，哪怕這些解不能容易地確定下來。這時，可以不要求得到精確的公式，而只希望得到一般的描述。例如，如果這個方程有著時間依賴性（例如熱方程和波方程就都有），人們就會問，解是否隨時間而衰減、爆破，或者大體上不變？這些更加定性的問題稱為

漸近性態問題

，有一些技巧來回答這一類的某些問題，儘管沒有顯式公式把解給出來。

和丟番圖方程的情況一樣，偏微分方程包括非線性偏微分方程中有一些特殊而又重要的類，可以把解準確地寫出來。這就給出了一種非常不同的研究風格∶人們又一次關注於解的性質，但是這一次是本性上更加代數化的性質，就是說，解的公式將要起更重要的作用。