數學筆記-同濟第七版高數(上)-第一章-函式與極限-函式連續性

一、連續

1、函式在一點連續，則lim(x->a)f(x)=f(a)或f(a-0)=f(a)=f(a+0)

即：函式若在一點連續，則在該點的極限值與函式值相等。

左連續：f(a-0)=f(a)

右連續：f(a+0)=f(a)

例1： {（e^（ax）-1）/ln（1+x） x>0

f（x）= {2 x=0

{b/（1+x^2） x<0

f（x）在x=0處連續，求a，b。

f（0-0）

=lim（x->0^+）f（x）

=lim（x->0^+）［（e^（ax）-1）/ln（1+x）］

=［lim（x->0^+）（e^（ax）-1）］/［lim（x->0^+）ln（1+x）］

（上一節說道，（e^Δ-1）~Δ （Δ->0），x~ln（1+x） （x->0））

=lim（x->0^+）（ax）/lim（x->0^+）（x）

=lim（x->0^+）（a）

=a

f（0）=2

f（0+0）

=lim（x->0^-）f（x）

=lim（x->0^-）（b）/lim（x->0^-）（1+x^2）

=b

∵ f（x）在x=0處連續

∴ f（0-0）=f（0）=f（0+0）

∴ a=b=2

2、設f(x)在閉區間[a,b]內有定義，且

（1）f(x)在[a,b]內處出連續

（2）f(a)=f(a+0), f(b)=f(b-0)

稱f(x)在[a,b]連續，記為：f(x)∈c[a,b]

二、間斷點

1、間斷：if lim(x->a)f(x)≠f(a)，稱f(x)在x=a間斷

也就是說，某點極限存在，但極限不等於該店函式值。

2、間斷點分類

（1）第一類間斷點：f(a-0),f(a+0)都存在

1）可去間斷點：f(a-0)=f(a+0)≠f(a)

2）跳躍間斷點：f(a-0)≠f(a+0)

（2）第二類間斷點：f(a-0)和f(a+0)至少有一個不存在

即：極限值不存在的為第二類間斷點

例2：f(x)=(x^2-3x+2)/(x^2-1)求f(x)間斷點及分類

x=±1為間斷點

（1）x=1時

lim（x->1）f（x）

=lim（x->1）（x-2）/（x+1）=-1/2，極限存在但是函式值f（1）不存在，為可去間斷點

（2）x=-1時

lim（x->-1）f（x）

=lim（x->-1）（x-2）/（x+1）=∞，極限不存在，為第二類間斷點

Notes：a>1時

lim(x->-∞)(a^x)=0 lim(x->+∞)(a^x)=∞

lim(x->0^+)(e^(1/x))=0 lim(x->0^-)(e^(1/x))=+∞