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聚點的兩個等價定義分析
界點為什麼一定是聚點嗎
聚點的定義是:點集中的一個定點,在它的任何鄰域內都有點集的無窮多個點,就稱這個定點是點集的一個聚點。它還有兩個重要的等價定義,它們分別是:
等價定義1:對於點集S,若點ξ的任何ε鄰域都含有S中異於ξ的點,即U(ξ;ε)∩S≠,則稱ξ為S的一個聚點.
用老黃自己的話說就是:如果ξ的任何鄰域上都含有S中異於ξ的點,即ξ的ε空心鄰域與S的交集永遠不是空集,就稱ξ是S的一個聚點。換言之: U(ξ;ε)中有S異於ξ的點,就有S的無窮多個點。 否則就會與聚點的原定義矛盾。
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這是一件扯不清楚的事情。如果你說其中一個空心鄰域只有S的有限多個點,那麼怎麼保證半徑更小的空心鄰域上,永遠都有S的點呢?你還別說,還真有可能,假設有一個半徑最小的空心鄰域上,有S的一個異於克西的點,那麼就能保證任意空心鄰域上都有S中異於克西的點。當然,我們找不到半徑最小的空心鄰域。所以說這些都是扯皮的。
因此老黃寧願相信,克西本身就可以表示S的無窮多個點。所以老黃說克西除了點的本質,還有區間的概念。那樣的話,不論那些空心鄰域有多少個S中異於克西的點,所有鄰域中就都一定會有S的無窮多個點了。
等價定義2:若存在各項互異的收斂數列{xn}S,則其極限lim(n→∞)xn=ξ稱為S的一個聚點.
用老黃自己的話講就是:如果S中存在各項互異的收斂數列,且數列以ξ為極限,那麼ξ就是S的一個聚點。換言之,各項互異的數列極限就是聚點。老黃上一講證明過極限就是
聚點
。似乎忘了強調各項互異這個條件了。
那麼,存在相同的項的數列極限,真的就不是聚點嗎?比如,數列中有兩個相同的項,其實並不會有任何影響。哪怕有很多相同的項,只要是有限個, 就不會影響聚點的本質。但若是有無限個相同的項,甚至本身就是一個常數項呢?按教材的定義,ξ就不再是
聚點
了。這其實是
聚點
的定義所決定的。然而老黃對此保留質疑的態度。這大概是因為把常數列的極限當做聚點,無益於高等數學的繼續深入探究吧。保留質疑,對我們接下來的探究,也是有益的。
假如我們可以把“數列極限就是相關點集的聚點”當做一個定理,那樣更符合科學探究的統一性追求。在很多地方的應用也會變得更加方便。如果每次判斷數列有極限是否點集的聚點都要附加說明,該數列沒有相同的項,或者特別說明,不是常數列,其實也是蠻麻煩的。特別是在有一個“端點數列”是常數列的區間套中,需要專門排除這種情況,是很不科學的。所以,老黃建議,人為規定“常數列的極限,也是一個聚點”。你覺得呢!
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