如何理解數學中有限和無限：有限是一種狀態，無限是一種思維方式

雷鋒說過“人的生命是有限的，可是為人民服務是無限的，我要把有限的生命投入到無限的為人民服務之中去。”這句話中提到有限和無限兩個概念，我們生活中遇到的事務、事情、數量比如一個西瓜、一斤蘋果，某個群體有多少數量的人等等不一而足，但是數量一般都是有限的。在有限的空間內，可以得到確定的數量關係，比如：1+1=2。那麼如何理解無限呢？

我們不能把有限領域的相關結論直接生搬硬套無限領域，即不能以平常思維來看待和分析無限。我們來看看在無限空間領域出現過經典的希爾伯特旅館問題吧！

我們設想有一家旅館，內設有限個房間，而所有的房間都已客滿。這時來了一位新客，想訂個房間，“對不起”，旅館主人說，“所有的房間都住滿了。”

現在再設想另一家旅館，內設無限個房間，所有的房間也都客滿了。這時也有一位新客，想訂個房間。“不成問題！”旅館主人說。接著他就把1號房間的旅客移到2號房間，2號房間的旅客移到3號房間，3號房間的旅客移到4號房間等等，這樣繼續移下去。這樣一來，新客就被安排住進了已被騰空的1號房間。

我們再設想一個有無限個房間的旅館，各個房間也都住滿了客人。這時又來了無窮多位要求訂房間的客人。“好的，先生們，請等一會兒。”旅館主人說。於是他把1號房間的旅客移到2號房間，2號房間的旅客移到4號房間，3號房間的旅客移到6號房間，如此等等，這樣繼續下去。現在所有的單號房間都騰出來了，新來的無窮多位客人可以住進去，問題解決了！

希爾伯特旅館如果有限個房間住滿有限個人後，無法在住進任何人了，但若是無限個房間，即使住滿了無限個人，還能再住1個、2個、n個甚至無限個人。從數學角度理解就是無窮加上某個數依然無窮，無窮乘以某個數非零數依然是無窮。

從數學角度理解希爾伯特旅館問題，我們知道在有限長度的區間（0，1］內可以說有無窮多個點，限長度的區間［1，∞）裡也有多少個點了。無窮多和無窮多怎麼比較？好在天才的數學人士早已經解決了這個有點燒腦的問題。

這些結論明顯和我們平時理解不同：一個區間（0，1］長度是有限，但該區間上怎麼有無數點呢？區間長度無限有無數個點，但有限區間上的點怎麼和無限區間上的點都是無窮多，這又該如何比較呢？

有限反映著具體的事物、現象和客體在時間和空間上的暫時性、區域性性和相對性，有限是能看得見摸得著可以直觀理解。無限反映著客觀實在的物質總體的永恆性、普遍性和絕對性。無限是抽象的運動的一種思維方式。當我們遇到難以解決的問題，沒有恰當的方式，就可以將問題無限的分解細化成若干個小問題，各個擊破在再綜合求解。微積分理論的出現就是在無限概念的基礎上產生。

正如雷鋒所言，生命是有限的，但我們可以透過自己的所作所為來在有限的生命中無限的為人民服務。