幾何綜合變換：直角三角形旋轉

題目：2013重慶真題A卷第26題

26．

（

2013

年重慶市

A12

分）

已知，

如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD。以AD為斜邊在平行四邊形ABCD的內部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°。

（1）求△AED的周長；

（2）若△AED以每秒2個長度單位的速度沿DC向右平行移動，得到△A0E0D0，當A0D0與BC重合時停止移動。設移動時間為t秒，△A0E0D0與△BDC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函式關係式，並寫出t的取值範圍；

（3）如圖②，在（2）中，當△AED停止移動後得到△BEC，將△BEC繞點C按順時針方向旋轉ɑ（0°＜ɑ＜180°），在旋轉過程中，B的對應點為B1，E的對應點為E1，設直線B1E1與直線BE交於點P、與直線CB交於點Q。是否存在這樣的ɑ，使△BPQ為等腰三角形？若存在，求出ɑ的度數；若不存在，請說明理由。

問（3）確實也可以看作單獨一道題目，前兩問的解答昨天有。

關於幾何圖形旋轉，首先要考慮起止位置、旋轉方向，大角度旋轉過程中，是個連續變化的過程，往往提供的圖中（本例②）是一種情況（為了降低難度）。

上圖作出了旋轉停止時的位置，此時B’E’與BE平行。CE在旋轉過程中，會構成一個圓，CB同樣如此，B1E1是圓的切線（∠CEB=90°），直線B1E1與直線BE交於點P、與直線CB交於點Q。直線、旋轉、等腰三角形，每個詞都在提醒考生，要分類討論。

解1：a=30°

在具體解答過程中，我們可以在草圖上畫，也可以借用直尺，在CE這個軌跡圓上，不斷調整圓切線B1E1的位置，看是否與直線BC、BE構成等腰三角形。解2：a=75°

繼續旋轉，作圖如下，分析此時P、Q重合，捨去。

繼續旋轉，作圖如下，分析∠E1CP=60°，實際與上圖一樣，P、Q重合，不可能。

在臨近旋轉終止時，發現還有一種情況，解3：a=165°