中考最後衝刺：一道關於三角形綜合度很高的數學題

△ABC中， ∠A=60度， BP和CQ是角平分線， 交於點I， 若PB=PC+BQ， ∠ABC=_____。

注：原題並沒有圖，圖是老黃自己補上的。沒有圖，這道題的難度會大大增加，所以數學的畫圖能力，十分重要。寫一個準確的圖，可以大大減小解題的難度。

分析：這道題建議先把圖中能求的角都求一求，然後觀察圖形，可以發現，透過做一條輔助線，構造兩組全等三角形，利用已知PB=PC+BQ的條件，結合全等對應邊相等，可以轉換出PB=BC。 即三角形BCP是一個等腰三角形，這是解這道題的關鍵。

然後利用三角形的內角和定理以及“外角等於不相鄰的兩個內角和”定理，就可以運用方程法，得到最後的結果了。

以下組織解題過程，這是一道填空題，所以直接寫過程。

過I作∠BIC的平分線ID交BC於點D，

∵BP和CQ是△ABC的角平分線。

∴∠BIC=180度-∠CBI-∠BCI

=180度-∠ABC/2-∠ACB/2=90度+（180度 -∠ABC-∠ACB）/2

=90度+∠A/2=90度+30度=120度。

（事實上，作為一道填空題，∠BIC的大小是可以透過“戰鬥機模型”直接得出來的，包括它的半形和鄰補角，也都可以直接得出來。）

∴∠CIP=180度 -∠BIC=60度=∠BIC/2=∠CID，

又∠DCI=∠PCI， CI=CI， ∴△CDI≌△CPI（ASA），

∴CP=CD，

同理可證BQ=BD，（就是透過如上證明全等，從而對應邊相等）

∴PB=PC+BQ=CD+BD=BC，

∴∠ACB=∠BPC=∠A+∠ABP=60度+∠ABP，

又2∠ABP+∠ACB+∠A=180度，

即 120度+3∠ABP=180度，

解得∠ABP=20度，

∴∠ABC=2∠ABP =40度。