透過一道題目徹底理解四年級奧數最值原理

今天帶大家學習一道小學四年級奧數中最值問題中的一道經典題目。

我會用最詳（囉）細（嗦）的講解，把“最值原理”的應用過程儘可能的解釋清楚。如果您發現孩子在這類問題中存在“憑感覺”、依靠“列舉法”等方式來做題，那麼千萬不要錯過我下面的分析過程。

準備知識一：

最值原理

1、和一定，差小積大。

例如a+b=11，當a、b分別是5、6或者6、5的是時候乘積是最大的30。

2、積一定，差小和小。

例如ab=30，a、b只有是5、6或者6、5的時候和是最小的5+6=11。

準備知識二：

乘法性質

因數越大，乘積越大。

要使乘積最大，

兩個乘數的最高位應是最大數

，

最末數應是最小數

。

例如這道題一個三位數一個是兩位數，想要乘積最大，最容易想到的是8、9最為兩個數的最高位，3則是應該在這兩個其中的一個末位。

我們假設先不去管這個3，那麼這個時候剩下的數字有9、8、5、4四個數字。

他們組成的數字應該是“95，84”或者“94，85”。

注意，這兩種組合的和都是相等的。

可以知道第一個組合的差是11，第二個是9，所以根據最值原理“

和一定，差小積大

”那麼第二個組合乘積更大。

所以這個時候再不管末位3的情況下，剩下的9、8、5、4四數字組成的乘積最大的兩組兩位數應該是94和85。

接下來我們要看這個3的位置了。

如果3放在94的後面，那麼有943x85=（940+3）x85=940x85+3x85=94x10x85+3x85

如果3放在85的後面，那麼有853x94=（850+3）x94=850x94+3x94=85x10x94+3x94

由於94x10x85=85x10x94，且3x85＜3x94

所以顯然853x94的成績會更大。

所以這個三位數是853，兩位數是94，乘積是80182.

接下來我們來求一下最小乘積。

按照上面的思路，成績最小，那麼顯然這兩個數的最高位應該分別是3和4，而最末尾應該是9。

同樣的，我們先不管最末位這個9，然後這兩組數的組個就有“38，45”和“35，48”這兩種組合。

這話來給你組數的和一定的，因為是求乘積最小值，所以根據最值原理“和一定，差小積大”，我們可以知道“和一定，差大積小”。

第一組的差是7，第二組是13，所以第二組的差更大，應該選擇第二組，即“35，48”。

這時候我們開始考慮9的問題。

9放在35的後面，那麼有359x48=（350+9）x48=350x48+9x48=35x10x48+9x48

9放在48的後面，那麼有489x35=（480+9）x35=480x35+9x35=48x10x35+9x35

由於35x10x48=48x10x35，且9x48＞9x35。

所以，489x35的乘積就更小。

這時三位數就是489，兩位數就是35，而成績是17115.

根據這個題目，我們可以得出一個規律：

有任意的A、B、C、D、E五個陣列成一個三位數一個兩位數的算式求成績最大或者最小的時候，我們可以根據這五個數字的大小進行排序，例如上圖中A＞B＞C＞D＞E（9＞8＞5＞4＞3），

那麼:乘積最大的一定是BCE（853）和AD（94）；

而成績最小的則是DCA（489）和EC（35）。