二次函式中隱含的特殊值和特殊角的應用技巧

二次函式為中考數學中常考壓軸題，由於其可以結合三角形、四邊形、圓的知識一起考察，因此有關二次函式的壓軸題總是變化萬千，但是我們卻可以從中總結出各種小規律或方法技巧。如果這些小技巧總結歸納多了，做題速度自然而然就提起來了。

常用特殊角：45、30、135 （最常見的特殊角表現形式為一次函式的傾斜角或拋物線與座標軸交點連線的傾斜角或與座標軸構成夾角的正切值）

常用特殊值：

為了培養孩子的數學學習興趣，可以讓孩子讀讀這本書：

數學史和數學方法論

孫智宏著

文學藝術

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一、物線與座標軸交點連線的傾斜角

如圖，已知二次函式

y

＝

ax

2

＋

bx

＋

c

的圖象與

x

軸相交於

A

（－1，0），

B

（3，0）兩點，

與

y

軸相交於點

C

（0，－3）．

（1）求這個二次函式的表示式；

（2）若

P

是第四象限內這個二次函式的圖象上任意一點，

PH

⊥

x

軸於點

H

，與

BC

交於點

M

，連線

PC

。

①求線段

PM

的最大值；

②當△

PCM

是以

PM

為一腰的等腰三角形時，求點

P

的座標．

例1、

1）二次函式中，求線段的最值，通常將其轉化為求二次函式的最值問題。（轉化的思想）

2）注意特殊角的應用。本題首先為BC連線與座標軸夾角為45特殊角（等腰三角形中，底角為45，那麼頂角為90）

本題重要思想方法：

例

如圖，在平面直角座標系中，拋物線

y

＝

x

2

+

bx

+

c

與

x

軸交於點

A

，

C

（

1，0），與

y

軸交於點

B

（

0，﹣3）．

（

1）求拋物線的解析式；

（

2）點

P

是直線

AB

下方的拋物線上一動點，過點

P

作

x

軸的垂線，垂足為點

F

，交直線

AB

於點

E

，作

PD

⊥

AB

於點

D

．

①

當

△

PDE

的周長最大時，求出點

P

的座標；

②

連線

AP

，以

AP

為邊在其右側作正方形

APMN

，隨著點

P

的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．則當頂點

M

或

N

恰好落在拋物線的對稱軸上時，請直接寫出點

P

的座標．

2、

二、

一次函式的傾斜角為45

如圖，拋物線

y

＝

ax

2

+

bx

+

c

的圖象，經過點

A

（

1，0），

B

（

3，0），

C

（

0，3）三點，過點

C

，

D

（﹣

3，0）的直線與拋物線的另一交點為

E

．

（

1）請你直接寫出：

①

拋物線的解析式

；

②

直線

CD

的解析式

；

③

點

E

的座標（

，

）；

（

2）如圖1，若點

P

是

x

軸上一動點，連線

PC

，

PE

，則當點

P

位於何處時，可使得

∠

CPE

＝

45°，請你求出此時點

P

的座標；

（

3）如圖2，若點

Q

是拋物線上一動點，作

QH

⊥

x

軸於

H

，連線

QA

，

QB

，當

QB

平分

∠

AQH

時，請你直接寫出此時點

Q

的座標．

例3、

三、由特殊值知傾斜角為45

四、正切值及45特殊角的應用

如圖

1，已知拋物線

y

＝

ax

2

+

bx

+

c

（

a

≠0）與

x

軸交於

A

（﹣

3，0）、

B

（

1，0）兩點，與

y

軸交於點

C

（

0，3）．

例5、

有興趣的同學可以參考一下《名校聯盟學霸必刷題九9年級初三數學》這本書，本書中有關於二次函式 幾何圖形證明與計算 二次函式與反比例函式等的經典題型，是一本值得參考的好書。

名校聯盟學霸必刷題九9年級初三數學二次函式 幾何圖形證明與計算 二次函式與反比例函式

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