怎樣解題？解析三道巧求周長的圖形題，文末有三個彩蛋

這段時間刷手機刷到幾道網紅三年級巧求周長的圖形題，題目很新穎有創意，我們來看看吧。

我們先看第1題。首先審題。

這是一道圖形題，由題意可知，正方形裡面有一個長方形的陰影部分。題目要求我們求出這個陰影部分的長方形的周長。已知資料只有兩個。我們想一想，做這道題可能會用到哪些知識點呢？陰影部分是兩個已知資料的重合部分。有理由猜測可能會用到《幾何原本》裡的公理：

公理 1 與等量相等的量相等．

公理 2 等量加等量，總量仍相等．

公理 3 等量減等量，餘量仍相等．

公理 4 彼此重合之物的量是相等的．

公理 5 整體大於部分．

既然是求周長，必然會用到周長公式：

正方形周長=邊長×4

長方形周長=（長+寬）×2

現在該考慮解題方案了。

設正方形邊長為a，陰影部分的長是a，寬是未知數，設為x。問題的焦點是計算長方形周長=（a+x）×2

難點在於a不知道，x也不知道，怎麼辦呢？

我們分析一下陰影部分的含義。

陰影部分把7和5這兩個已知資料都分為兩部分，x是7和5的重合部分，公共部分。正方形邊長a=（7+5）-x，如果給正方形右邊加上一條相等的陰影部分，正方形就變成長方形了。這個長方形寬不變，還是a，但是長變成了a+x，恰好是7+5=12

於是得到答案了：

長方形周長=（a+x）×2

=［（7+5）-x+x］×2

=12×2

=24

神奇的是未知量在求解過程中消失了。

回顧題目：

在求不出長方形的長和寬的時候，我們好像山重水複疑無路，但是研究已知量和未知量的內在聯絡時，發現能夠求出長+寬的和，於是用周長公式解決了問題，眼前一亮，出現了柳暗花明又一村的景象。

再思考發現：題目的圖形可以傾斜變形為平行四邊形，題目答案不變。

推論：正方形變形為平行四邊形，無論怎麼變，面積變了，但是過程中保持周長不變和內角和不變。

看第二題。請看下圖：

還是一道圖形題。題目的圖形看上去有些複雜。總結一下這個圖形的特點，它是多邊形，已知資料只有三個。解題的目標是求出這個多邊形的周長。

審題：

我們首先來考慮平面上兩條直線的位置關係。顯然。，只有兩種關係：平行和相交。考察題目所給的這個多邊形，線段之間的位置關係就更簡單了，平行和相交：相交線段角度都是直角。有了這個認識，題目就可以有解了。

數一數，題目圖形有8條線段，可以分為兩種：縱線和橫線，各有4條。所有的橫向線段都不是問題，它們的總和是12×2=24。難點在於縱向線段有一長一短不知道。

根據第一題的經驗，我們考慮雖然不知道一長一短，但是求出一長一短的和就能夠解決戰鬥，反正題目是求周長，又不是求8條線段的具體長度。

有了這個思路，我們發現長+短=8，於是解決了問題。怎麼發現的呢？

腦補畫面：把3移到5的下方排成一條直線，得到長度等於8的線段。；把一長一短也上下對齊放好，發現5+3=長+短。

答：多邊形的周長是。24+16=40。

現在我們來看第3題，請看下圖。

看圖形第3題和第2題有些類似，我們來仔細看看它們的相同點和不同點。

相同點：都是由8條線段組成的多邊形。8條線段可以分為縱向和橫向兩組。縱向4條線段，彼此平行。；橫向4條線段，彼此之間平行。線段相交的角度都是90度。已知資料有3個。

不同點：最重要的不同點是，第2題兩個已知資料的重合部分是未知量；而第3題兩個未知資料的重合部分是已知量。

繼續審題。

4條橫向線段的總長度是10，問題聚焦於兩條縱向線段是未知量。

現在開始解題。

4條縱向線段從左往右數，第1條長度3；第2條長度未知，設為X，第3條長度為1；第4條長度未知，設為Y。

由圖形可知X和Y的重合部分長度為1。畫一條橫向的輔助線可以看出， X被分成兩個部分：上面那部分長度為1，那麼剩下的那部分長度就是X-1。

於是得到算式

x-1+y=3

所以有

x+y=3+1

問題解決了：

橫向線段總長度為10。縱向線段總長為：3+1+4=8；這個多邊形的周長是18。

回顧題目：

這個多邊形的內角都是90度。不過即使把題目所給的圖形變形一下，角度不是90度，而是其他的銳角，只要縱向線段彼此之間平行，橫向線段彼此之間平行，那麼多邊形的周長還是不變，答案也還是不變。只是面積變了，但是我們的題目是算周長，跟面積沒有關係。

彩蛋1

書摘：波利亞經典著作《怎樣解題？》

第一

你必須理解題目。

［理解題目］

未知量是什麼？已知資料是什麼？條件是什麼？條件有可能滿足嗎？條件是否足以確定未知量？或者它不夠充分？或者多餘？或者矛盾？

畫一張圖，引入適當的符號。

將條件的不同部分分開，你能把它們寫出來嗎？

第二

找出已知資料與未知量之間的聯絡。

如果找不到直接的聯絡，也許你不得不考慮輔助題目。

最終你應該得到一個解題方案。

［擬定方案］

你以前見過它嗎？或者你見過同樣的題目以一種稍有不同的形式出現嗎？

你知道一道與它有關的題目嗎？你知道一條可能有用的定理嗎？

觀察未知量！並儘量想出一道你所熟悉的具有相同未知量或相似未知量的題目。

這裡有一道題目和你的題目有關，而且以前解過。你能利用它嗎？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了有可能應用它，你是否應該引入某個輔助元素？

你能重新敘述這道題目嗎？你還能以不同的方式敘述它嗎？

回到定義上去。

如果你不能解所提的題目，先嚐試去解某道有關的題目。

你能否想到一道更容易著手的相關題目？一道更為普遍化的題目？一道更為更為特殊化的題目？一道類似的題目？

你能解出這道題目的一部分嗎？只保留條件的一部分，而丟掉其他部分，那麼未知量可以確定到什麼程度，它能怎樣變化？

你能從已知資料中得出一些有用的東西嗎？你能想到其他合適的已知資料來確定該未知量嗎？你能改變未知量或已知資料，或者有必要的話，把兩者都改變，從而使新的未知量和新的已知資料彼此更接近嗎？

你用到所有的已知資料了嗎？你用到全部的條件了嗎？你把題目中所有關鍵的概念都考慮到了嗎？

第三

執行你的方案。

［執行方案］

執行你的解題方案，檢查每一個步驟。你能清楚地看出這個步驟是正確的嗎？你能否證明它是正確的？

第四

檢查已經得到的解答。

［回顧］

你能檢驗這個結果嗎？你能檢驗這個論證嗎？你能以不同的方式推導這個結果嗎？你能一眼就看出它來嗎？你能在別的什麼題目中利用這個結果或這種方法嗎？

彩蛋2

為喜歡圖形題的同學獻上一組圖，題目有點難，沒有關係，看答案也是一種很好的學習。

怎樣把木板鋸成5塊？怎樣鋸，怎樣拼？

用兩種方法把木板鋸成3塊，再拼接為正方形。

還是鋸成3塊再拼接為正方形。

拼圖遊戲：①7塊拼接為長方形；

②7塊拼接為正十字形。

揭曉答案：

彩蛋3

出題老師標註資料惜墨如金，沒有冗餘條件。讓我想起了一個非常精彩的題目：直尺刻度問題。

緊接下圖

緊接下圖

摘自《數學名題詞典》，單墫主編，江蘇教育出版社，2002年7月第一版。

說明：13釐米的直尺，雖然只有4箇中間刻度，但加上兩端的隱藏刻度0和13，實際上是6個刻度。

科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。