如何看待1與0.9999…的大小之爭

1與0.9999…哪個大，很多人可能會覺得這有爭議嗎，肯定1大呀。可是有點高數背景，學過數學分析的人可能會告訴你，它們是相等的，而且一般他們會強調1與0.9999…是嚴格相等的。

今天我們就來說說1與0.9999…的大小問題。 1與0.9999…的大小爭辯在於到底它們是相等還是1更大，持這兩種不同觀點的人數量都很多，互相都不能說服對方，都覺得對方是在挑戰自己的科學信仰。支援1與0.9999…相等的 人，能給出很多1與0.9999…相等的證明，這裡提一種比較簡單的方法：

但是學了數學分析似乎又會覺得沒這麼簡單。這裡涉及實數完備性的一些理論，比較複雜，我這裡採取簡單的方式敘述，區間套理論和戴德金分割就暫且不提了。首先我們知道實數是和數軸上的點一一對應的，且任意兩個點之間都能有無數個點，也就是說任意兩個實數間都有無數個實數，如果兩個實數相等，則這兩個實數之間沒有其他數，這兩個實數在數軸上用同一個點表示，意即表示這兩個數的點之間沒有“空隙”，

這裡我們先要對大於和等於分別作定義 ：

我們先定義大於：若AB兩數,A>B,那一定存在一個數X，使A>X>B.

我們再定義等於

：

現在我們用上面大於和等於的定義來看1與0.9999…的關係，如果說1大於0.9999…，但1與0.9999…之間卻不能找出“中間數”，而且1與0.9999…似乎也滿足上面對等於的定義，即1與0.9999…之間的空隙小於任意給定的正數（無論這個正數可以有多麼小），到這裡我們發現已經不能反駁1與0.9999…相等了。出現上述矛盾的關鍵似乎在於無限靠近和相等到底是否等價。另外，其實0.9999…是否是一個確切的數都備受質疑，有人認為0.9999…是一個無限迴圈的過程，永遠沒有終點，所以它不是一個確切的數，或者說數軸上沒有和0.9999…對應的點。

那我們是否能設想給0.9999…一種數的定義呢，比如作如下定義：

但在這種定義下0.9999…應該不等於1，否則分母為零，沒有意義了。

在這裡我要順便提一下“潛無窮”的概念，我們可以認為0.9999…是一種潛在的不斷構造的過程，永遠無法完結，不是一個實在的可完成的過程，這就將1和0.9999…的大小爭辯變成了“潛無窮”與“實無窮”的爭辯（數學分析中還有相應的標準分析與非標準分析）

為方便理解，我們先談談“無窮小”，無窮小是潛在的還是實在的呢，意即無窮小是能達到的還是隻能無限構造而無終結。關於這個，古希臘哲學家芝諾有著名的“芝諾悖論”，其中一個是說物體的運動是無法完成的，因為若物體要運動一段距離，則它需要先運動到這段距離的一半處，則它又需要先運動到一半的一半處，這個過程會一直持續無法終結，所以物體無法運動。

不過現實是物體當然可以運動，難道無窮小的細分是能完結的？有種解釋是，我們人類的思維是連續的，在思維過程中我們認為物質是可以一分為二，再分為二，無限細分沒有終點的，但就目前而言已知宇宙中的物質卻是離散的，不連續的，宇宙有最小的長度單元，即普朗克長度：

所以好像思想上的無窮小是潛在的無法達到，而現實中的無窮小是實在存在的，它定義了宇宙的最小刻度，正因為“無窮小”的這種特點，導致它是那麼令人琢磨不透，難以理解，也就使得當一個問題涉及到無窮時，也變得模稜兩可，難以定論。

至此，我們可以認為1與0.9999…的大小之爭，也就是“實無窮”與“潛無窮”之間的爭辯，其實兩者之間沒有嚴格的對錯，只有選擇的不同，意即在不同的“標準”下，會得到不同的結論。