歷經千年，數學家們都是如何繪製“正弦表”的？

什麼是正弦餘弦正切圖解

1687年，在

哈雷

（Halley）的鼓動和支援下，不敢輕易發表作品的

牛頓

（Newton）出版了他耗時3年寫成的數學鉅著《自然哲學的數學原理》，此書無論之於數學還是物理，都具有劃時代的意義。

牛頓《自然哲學的數學原理》首版圖書封面

大家熟知的“力學三大定律”、“萬有引力定律”，以及“微積分”的發明，都集中體現在Newton的《自然哲學的數學原理》一書中。

但是此書還有一個對微積分影響深遠的發現，大家卻未必知曉。在《原理》第三篇的引理五

“

求透過任意個點的拋物線類曲線

”中，Newton以幾何的形式給出、並簡單證明了這個發現——“

牛頓插值公式

”（Newton interpolation formula）。

《自然哲學的數學原理》中的“牛頓插值公式”

當然，在歐洲“

牛頓插值公式

”的發現不只屬於Newton，同時期的格雷戈裡（gregory）、萊布尼茨（ Leibniz）也享有獨立的發明權。為了便於大家快速理解這個公式的用途和來由，我們使用現代符號來表示：

我們稱之為“

插值公式

”是因為根據已知的n個點得到的這個公式，可以用來近似的估計原函式在其他點的函式值。就好比在這n個點之間插入了一個比較貼近原函式的值，這個功能與“擬合”類似，但不同的是，“

插值公式

”中已知的n個點一定滿足公式。

“

插值公式

”的證明不困難，只需設

並將n+1個點的值逐一帶入f（x）求出係數即可。

Newton在這裡首次引入了“差商”的概念，

差商

指的是兩個點之間縱座標之差比上橫座標之差，即△y/△x。

數學中不可避免的會遇到這些新概念，但我們只要多看看，熟悉了也就順眼了。現在，對“

插值公式

”稍作變化。令“

插值公式

”中的c=△x，並讓△x→0得，

這就是大名鼎鼎的

泰勒級數

（Taylor series）。

泰勒畫像

泰勒級數

是

牛頓插值公式

的一個重要推廣和運用，由於可以輕鬆將無理函式轉化為級數展開形式，

泰勒級數

在分析學形成早期的函式求導、求積中扮演了最重要的角色。

從“分析”的角度計算正弦值

根據

泰勒級數

可以得到正弦函式y=sinx的級數展開式：

如下圖，即使是取

，也可以較好的估計y=sinx在（-90°，90°）之間的值。以18°的正弦值為例，g（π/10）≈0。30902與sin（π/10）的值0。30901699。。。在小數點後5位才出現懸殊。

用y=g（x）來估計正弦函式

當然如果我們取的級數展開式的項數越多，得到的正弦值也就越精確。而結合當代計算機的強大功能，我們可以快速計算任意角度的足夠精確的正弦值。泰勒級數的功能之強大、過程之簡潔實在讓人震撼！

但需要說明一點，關於“正弦函式”的展開式，雖然我們常用以上“微分”的方法來求解。但是在牛頓時代，卻是透過更復雜的形式——“積分”的方法來得到的。具體參見附錄【1】。再往前幾個世紀，印度數學家Mādhava最早給出了正弦、餘弦、正切的級數展開式，只是當時的歐洲數學家並不知曉。

總結一下，從“分析”的角度解決“正弦值”問題，不但可以直接計算

正弦函式

在

任意角

度處的近似值，而且操作簡單、精確度有保證，在計算機普及的今天，“正弦表”更是可有可無。但是，早期的天文學家就沒有這麼幸運，他們的每一次計算都離不開“弦表”，因為這是他們處理資料的基礎。既然如此，那

早期數學家

是如何計算“正弦值”並繪製“正弦表”的呢？

“二次插值”公式法

還得繼續提到數學大家Newton，他和gregory等數學家在歐洲首先發現了

插值公式

，但實際上

插值公式

的最初發現並非在歐洲，而是7世紀初的中國。公元600年，隋朝天文學家劉焯（zhuo）創《皇極曆》，並用“二次插值公式”來計算日、月、五星的執行速度。

劉焯畫像

隨後，也是在7世紀，印度著名數學家婆羅摩笈多（Brahmagupta） 為了討論“*正弦”（這裡加*是為了與現在的“正弦”作區分，“*正弦”指的是弧所對正弦線或半弦值），在《肯達克迪迦》（Khandakh1dyaka，音譯）一書中也使用了“二次插值公式”。

婆羅摩笈多（Brahmagupta）

Brahmagupta首先列出了0°到90°每隔15°的“#正弦值”，然後使用“二次插值公式”：

如果需要計算37°的正弦值，利用等式 37°=30°+（7/15）15°，令a=30°，x=7/15，c=15°。則f（a）=*sin30°。。。。。帶入公式即可。

幾何法+三角公式+不等式

最後回到我們的老熟人——古希臘著名數學家

托勒密

Ptolemy這裡。在上一篇文章中，我們說到，Ptolemy的“弦表”是現存最早的“正弦表”，其值指的是2

α°弧

所對

弦長|BC|

的值。

Ptolemy的“弦表”中的弦長|BC|

計算中Ptolemy取圓周為360等分，半徑為120等分。為免混淆，下面用# sinα°來表示Ptolemy的“弦值”，以區別於現在的sinα°。

具體步驟如下：

“弦表”繪製步驟

古希臘的數學著作大多以幾何形式呈現，數學概念是幾何的、數學推導也是幾何的。Ptolemy的著作也不例外，上面的推導過程記錄在《至大論》（Almagest）一書中，篇幅有限，不能一一說明它們的具體推導過程，但如果你需要繼續思考下去，下面的3個問題會是一個好的出發點：

問題1：如何計算

sin72°的值

？

問題2：如何用“托勒密定理”推導“正弦的和、差角公式”？

問題3：如何用“托勒密定理”推導“半形公式”?

以上問題答案，可參考附錄【2】

Ptolemy繪製的“弦表”建立在幾何——尤其是托勒密定理的基礎上，並且已經有了等價於現代“正弦的和、差公式”、“半形公式”等三角公式，更難能可貴的是大膽的使用了“不等式”來逼近函式值。後世的印度、阿拉伯數學家對他的方法、成就做了繼承和發展，逐步演變成現在比較成熟的“三角學”。

“正弦的和公式”

阿拉伯數學家瓦法（Wafa）是第一個計算現代意義下的“正弦值”的人，他使用“不等式逼近法”編制了高度精密的“正弦表”。在計算30′正弦值得時候，使用了不等式：

最後計算得到sin30′≈0。008726536673。這個近似值精確到了小數點後9位。這在以前的“弦表”裡是見不到的，沒錯，Wafa創了記錄。

阿布·瓦法（Abū al-Wafāʾ，公元940-998年）

到這裡，我們對“弦表”的製作史介紹就告一段落了，三角學這門學科從隸屬於天文學，歷經千年後獨立發展並逐步壯大，離不開一代代的數學巨匠們的奮鬥，讓我們一起向這些偉大的開拓者和繼承者們致敬！

附錄：

【1】。微積分的歷程。William Dunham。人民郵電出版社。2012

【2】。世界數學通史（上）。梁宗巨。遼寧教育出版社。2005。 P438-440