深度科普：帶你看懂狄拉克方程，物理學中的神來之筆！

本文較為硬核，請酌情跳過部分內容。

不過，若是你真想了解狄拉克方程，我建議你全看完。（可以忽略公式，只看文字內容。）

狄拉克方程，我想稱其為“神來之筆”！它是

狹義相對論

與

量子力學

的統一，為了烘托這神來之筆，我需要在前期做足鋪墊。

筆者曾寫過一篇文章：《深度科普：帶你看懂薛定諤方程，量子力學入門》，本文可以算是是那篇文章的後續內容，請讀者確保自己已經讀過了那篇文章，不然你完全看不懂下面的內容（評論區裡會附上鍊接，也可以進作者主頁檢視）。

再次提醒，請確保自己已經讀過上面的文章，不然你完全看不懂下面的內容。

本文的主要內容有：

從薛定諤方程的缺陷談起

事情並不簡單

“錯誤”的方程

絕境？

狄拉克的妙計

神來之筆！

寫出狄拉克方程！

渾然天成的自旋

狄拉克之海與反物質

狄拉克方程的意義

從薛定諤方程的缺陷談起

它有兩個缺陷：

只能描述低速運動的電子，當電子接近光速運動時，薛定諤方程就失效了。

無法描述電子的自旋。

雖說薛定諤方程描述的是“微觀粒子”這個大的概念，不過在它創立之初，基本上就是在描述電子。狄拉克方程也是如此，通常就是在描述電子。

甚至可以說量子力學就是描述

光子

和

電子

的學問，光子已經由麥克斯韋方程組描述了，其它的方程自然是在描述電子。

先看一看薛定諤方程的第一個缺陷，當電子接近光速運動時，薛定諤方程就失效了，此話從何說起？

咱們先捋一捋上篇文章是如何推導薛定諤方程的。從某種角度看，薛定諤方程就是經典的能量動量關係：

m是質量，v是速度。（為了簡化問題，本文不考慮電子的勢能。）

再乘一個波函式Ψ：

結合一下對波函式求偏導數以後得到的性質：

整理這些性質：

i是虛數單位，h加一橫是約化普朗克常數。

這樣就可以直接得到

薛定諤方程

：

（當然，這是一維的薛定諤方程。）

薛定諤方程的動能公式和動量公式都是從

經典力學

得來的，這就導致薛定諤方程只適用於低速運動的電子。

不過，有件事值得我們注意：

1905年，狹義相對論就被創立了。1926年，薛定諤方程才出現。薛定諤為什麼還要使用經典力學的能量和動量，而不是直接創立一個滿足狹義相對論的方程？

事情並不簡單

這麼明顯的想法，薛定諤會想不出來？

人家當然能想出來啊！

那薛定諤為什麼不改進一下自己的方程？

問題在於事情並不簡單。

事實很尷尬，薛定諤最初構建物質波的波動方程時，用的就是

狹義相對論

的能量-動量關係！

但是，他寫出的方程求不出氫原子能級公式，這說明那個方程是錯的。

被打擊以後，薛定諤又按經典的能量-動量關係構建了一個方程。結果竟然算出了氫原子能級公式！

於是，薛定諤把這個歪打正著的方程發表了。

薛定諤方程是這麼“上位”的，這導致它在電子接近光速運動時就失效了。

“錯誤”的方程

薛定諤最初寫下的方程其實是：克萊因-戈登方程。

（現在看來，隨便一個學過物理的人都能推匯出這個方程。）

這個方程是通往狄拉克方程的一個小插曲，筆者有必要介紹一下它。

上面已經回顧了薛定諤方程的推導過程，依葫蘆畫瓢，如果想描述高速運動的電子，只需要借鑑一下狹義相對論的能量-動量關係：

再乘一個波函式Ψ：

然後再看一看波函式的性質，找出需要用的公式：

這樣就可以得到

克萊因-戈登方程

：

當然，這是一維的克萊因-戈登方程。依葫蘆畫瓢，還可以寫出三維的

克萊因-戈登方程

：

這個方程被很多人用很多方法得到過，聽起來很高大上，看起來也很高大上，實際上卻是個“繡花枕頭”。

求解這個方程，算不出氫原子能級公式也就算了，竟然還會出現負的機率和負的能量，一看就知道沒戲。

多說幾句，克萊因-戈登方程也不是一無是處。雖然它不能描述自旋為半整數的費米子（比如電子），但可以描述自旋為零的粒子，比如希格斯玻色子、介子。

絕境？

薛定諤方程缺陷嚴重、克萊因-戈登方程是“繡花枕頭”，最終的方程究竟該怎麼寫？

還是要從狹義相對論的能量-動量關係入手。不過要注意，不能像克萊因-戈登方程那樣“玩過了”。

克萊因-戈登方程之所以“玩過了”（出現負的機率和負的能量），是因為：

所以應該使用的能量-動量關係是：

乘以波函式Ψ，可以得到：

但是，根號的出現，讓整個方程變得混亂不堪，還不如原本的克萊因-戈登方程。

所以對於相對論的能量-動量關係：

需要消除根號，而且還不能用等號兩邊平方的方法去消除根號，不然就又回到了克萊因-戈登方程。

此時的物理學家：

走到這一步，真的可以算是“前不著村，後不著店”，物理學家似乎陷入了“死迴圈”，難道狹義相對論和量子力學不相容嗎？

狄拉克的妙計

狄拉克的思路是：

既消除了根號，又沒有平方，堪稱完美！是不是有一種“從地獄到天堂”的感覺？

但是，別高興得太早，α和β真的存在嗎？什麼意思？

狄拉克的想法相當於：

大家可以自己思考一陣子，看看能不能得到滿足條件的A和B。

我可以告訴大家，A和B在實數域內找不到解，在複數域內也找不到解。更讓人絕望的是，如果你的思路是：

那麼A和B根本就沒有解！

是不是有一種“從天堂到地獄”的感覺？

狄拉克的妙計似乎並不妙，也只是個“繡花枕頭”。這件事放在別人身上或許就不了了之了，不過很可惜，狄拉克終究是狄拉克。

神來之筆！

矩陣！

A和B可以是矩陣，說得準確一點，是2x2矩陣！

矩陣就是把一堆數排列在一起，矩陣的乘法通常不滿足

乘法交換律

。

（限於篇幅，正文裡就不介紹矩陣的計算方法了，評論區裡會附上矩陣的計算方法。）

知道了矩陣的妙用，回到當初的問題：

所以真正的問題是：

它們都是4x4矩陣，被稱為

狄拉克矩陣

：

想知道怎麼推導狄拉克矩陣？

這不是強人所難嗎，連我這種人都能搞懂的話，還能叫神來之筆嗎？

順便說一句，狄拉克矩陣不止這一組。費米找到了另一組狄拉克矩陣，被稱為“標準組”，而狄拉克找到的這一組矩陣被稱為“泡利組”。

寫出狄拉克方程！

現在可以寫出新的滿足狹義相對論的能量-動量關係：

結合波函式的性質：

可以得到：

這就是

狄拉克方程

！

不過這種形式的方程和網上常見的狄拉克方程相差甚遠，所以我有必要說明一下各種形式的狄拉克方程是怎麼來的。

首先，把等號右邊的一些項移到等號左邊：

然後，在等號兩邊都乘以一個β矩陣（β矩陣乘β矩陣是單位矩陣，在這個方程裡可以認為單位矩陣就是1）：

上面的方程還可以寫成：

把等號右邊的項移到等號左邊就可以得到：

如果採用

自然單位制

，就可以得到：

再定義一個算符：

就可以得到：

渾然天成的自旋

之前提到過薛定諤方程的兩個缺陷：

不能描述高速運動的電子。

不能描述電子的自旋。

第一個缺陷已經被狄拉克方程解決了，那第二個缺陷呢？

也被狄拉克方程解決了！

是不是有疑問，剛剛推導狄拉克方程的時候只是使用了狹義相對論的能量-動量關係啊，沒有考慮自旋啊，怎麼就描述了電子的自旋？

上篇文章說過，想要描述電子的自旋，就需要引入

泡利矩陣

：

（至於泡利矩陣怎麼就能描述電子的自旋，這涉及到旋量理論和洛倫茲群，筆者就不介紹了。）

而

狄拉克矩陣

包含了泡利矩陣：

狄拉克矩陣是從哪裡來的？

狹義相對論啊！

這說明什麼？

說明電子的自旋是狹義相對論的必然要求，電子必然有自旋！

順便說一句，電子的自旋並不是說電子在繞著一個軸轉動（如果真是電子在轉動，就違背了狹義相對論），“自旋”僅僅只是為了描述

斯特恩-蓋拉赫實驗

中的反常現象：電子具有額外的磁矩。

狄拉克之海與反物質

前面說過，求解克萊因-戈登方程會得到

負的機率

和

負的能量

，這讓克萊因-戈登方程被人詬病。正因如此，才需要一個新的方程：狄拉克方程。

那求解狄拉克方程的結果如何？

確實不會出現

負的機率

，但是仍然會出現

負的能量

。這似乎表明狄拉克方程和克萊因-戈登方程一樣，都是“繡花枕頭”。

不過，這裡的“劇情”有些不一樣，狄拉克給

負的能量

找到了一個“合理”的解釋：

負能量對應著“負能級”，真空中到處都是“負能級”，那裡早已被電子填滿了。所以真空是一片電子組成的海洋（狄拉克之海），只不過我們無法觀測到那些待在“負能級”的電子。

聽起來是不是有些玄幻？

下面還有更玄幻的：

如果“負能級”中的電子吸收能量，就會躍遷到“正能級”，成為我們可以觀察的電子。與此同時，會在“負能級”中形成一個“空穴”，也就是說真空中出現了一個電子，同時也出現了一個“空穴”。

真空的總電荷是零，總能量也是零。

真空中少了一份的負電荷（佔據“負能級”的電子），就會表現出一份的正電荷，所以這個“空穴”是帶正電的。真空中少了一份的負能量（佔據“負能級”的電子），就會表現出一份的正能量，所以這個“空穴”具有正的能量（也就是正的質量，切記）。

把這個過程反過來，電子與“空穴”結合，會釋放能量。與此同時，它們迴歸真空。

這種“空穴”就像一種粒子一樣，當時人們知道的帶正電的粒子只有質子，狄拉克原本也覺得這種“空穴”就是質子，不過這種想法被批判：

按照能量守恆，“空穴”的質量應該與電子的質量相同，而質子的質量大約是電子的1836倍！

於是狄拉克腦洞大開，認為這是一種新的粒子，它與電子的質量相同、自旋相同，只是帶的電荷與電子相反，可以稱之為

正電子

！

1932年，安德森繼任趙忠堯先生的工作，在宇宙射線中發現了正電子。

也可以說正電子是電子的

反粒子

，隨後的幾十年裡，物理學家陸續發現了其它粒子的反粒子，這讓人暢想：反物質！

狄拉克方程的意義

這是狹義相對論和量子力學的統一！

（所謂的相對論和量子力學不相容，說的是廣義相對論，而非狹義相對論。）

也是量子場論的開端，導致了二次量子化，促成了量子電動力學的創立。

而且，狄拉克方程不只描述電子，目前看來，一切費米子都可以由狄拉克方程描述。甚至可以說，狄拉克方程是

粒子物理標準模型

的第二塊拼圖！

（粒子物理標準模型描述了電磁力、弱核力、強核力，是目前理論物理學的巔峰。）