「最強大腦」天才數學家陶哲軒親授25條職業建議

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作者：陶哲軒

【新智元導讀】

陶哲軒是世界著名天才數學家，未滿13歲即獲得國際數學奧林匹克競賽金牌，是數學領域最高獎“菲爾茲獎”獲得者，被稱為“數學莫扎特”。他在此文中總結了給數學愛好者和研究人員的25條建議或忠告，大師真知灼見，值得收藏。

陶哲軒：華裔數學家，任教於美國加州大學洛杉磯分校（UCLA）數學系。數學最高榮譽“菲爾茨獎”獲得者。是調和分析、偏微分方程、組合數學、解析數論、算術數論等接近10個重要數學研究領域裡的大師級數學家，被譽為“數學界莫扎特”。未滿13歲時已獲得國際數學奧林匹克競賽金牌，至今仍保持著該競賽最年輕獲獎者的紀錄。

作為一個天才數學家，陶哲軒教授幾乎每隔一段時間就會收到一堆諮詢，例如應該怎樣研究數學、怎樣寫數學論文、怎樣開始大學學習、怎樣增加自己被名校錄取的機會……他說：

我沒有“秘方”或其他一個放之四海而皆準的處方，告訴年輕人如何獲得成功。但我可以給出一些忠告。

細讀這些忠告，你會發現它們真的很有用，遠遠不止在於學術研究領域。

下面是陶哲軒的25條Career advice。

1、數學不僅是分數、考試和方法

作為一個大學生，需要重視成績和考試，這些考試經常更強調記住技術和理論，而不是對實際概念的理解，或是智力以及直覺。然而，當你進入研究所學習之後，你會發現一種更高層次的學習（另外更重要的是——做）數學，它要求的能力超過緊緊會記憶和學習，或摹仿一個已有的論證或處理過的例子。這經常要求你拋棄（或至少修改）很多大學時期的學習習慣；比起簡單的關注於智力測試如考試，更多的需要主動地學習和實踐來提高你自己的理解。

同樣，在大學及以下的階段主要教授成熟和優美的數學理論，大部分是幾十年或幾百年以前做出的，而在研修生階段你將開始接觸前沿，正在發展的東西——它也許會與你在大學時習慣的東西顯著不同，同時更有趣。

2、數學不僅是嚴格和證明

對大學生，老師經常首先以非正規、直觀的方式教授數學（比如按照斜率和麵積的方式描述導數和積分），然後才說到要恰當的處理這些東西，需要一種精確和正式得多的方式來處理和思考這個問題（比如使用epsilon delta來描述導數）。

知道如何嚴密的思考當然極其重要，因為這給了你避免很多常犯錯誤的規範，同時消除很多誤解。不幸的是，這無意中使得“模糊的”或“直覺的”思考（例如啟發性的推理，從例子中判斷性的推斷，或其他背景如物理的類比），因為“非嚴格”而遭到輕視。人們時常最終放棄開始的直覺，而只能從正式的層面上處理數學。

嚴格的要點並非消滅全部的直覺；而是應該被用來消滅有害的直覺，同時澄清和提高好的直覺。只有結合嚴格的形式化和好的直覺，人們才可以處理複雜的數學問題；人們需要前者來正確地處理細節，後者來正確處理大的影象。缺乏其中一者，你將費盡時間踉蹌於黑暗之中（可能有教育意義，但是得不償失）。所以當你完全適應了嚴格的數學思維，你應該重新嘗試在這個問題上使用直覺，並且使用新的思維技能來測試和提煉這些直覺而不是拋棄他們。

理想的情況是每個啟發性的論證都能自然地暗示它對應的嚴格證明，反之亦然。

3、努力工作

只依賴於聰明在最後時刻完成事情也許會暫時有效，但總體說來在研修生以及更高層次上這不會有用。

為了在數學上達到一定水準，你不僅需要思考，還需要讀和寫大量的東西。與輿論相反，數學突破不僅（或主要）靠天才的“我發現了！”瞬間的推動，而實際上很大程度是辛勤工作的產物。當然這些工作由經驗和直覺指引。困難經常藏匿在細節之中，如果你覺得理解了一個數學領域，那你應該已經閱讀了所有相關的文獻，至少寫出了這個領域的狀況的概要，並且最終寫出這個主題的完整和詳細的處理方法。

如果你可以僅僅構思出主要的思路而讓次要的凡人來補充細節，那就太舒服了，但是，相信我，數學中決無此事。

經驗表明，只有細心集合了大量細節和其他論據（或至少證明思路）以支援你的“主要的思路” 的文章，才值得人們花時間關注。如果創造者都不願意幹這個，那麼很可能沒人會願意做。

4、享受工作

某方面上這是上一條的推論。如果你不喜歡你的工作，那就很難投入足夠的精力，從長期看持續投入精力是必要的。只因為時髦而從事一個領域遠不如從事你歡喜的數學領域。

5、不要依據熱門或聞名程度而作職業決定

進入一個領域或一個系，只因為它熱門並非好主意，關注領域中的最著名的問題（或數學家），只因為他們的名氣亦非良策——坦白說，就數學整體而言沒有那麼著名或者熱門的東西，也不值得把追求這些當作你的首要目標。任何熱門都很可能競爭激烈，只有擁有最堅實基礎（特別的，大量領域中不那麼熱門方面的經驗）的人才能夠有所成就。

未解的著名問題幾乎不可能“ab nihilo”解決。你需要先花很多時間在簡單的（同時不著名）模型問題上，獲取一些技術，直覺，中間結論，背景，和文獻，從而找到有效的方法剔除無效的方法，然後才可能有機會解決領域內真正的大問題。（有時候，有些著名問題較容易的解決了，那只是因為擁有適當工具的合適的人以前沒有注意到這個問題，但是対於研究很透徹的問題一般不會這樣——尤其是那些已經有很多“不行”理論和反例的問題，這些理論和反例完全排除了一些著手的策略。）

因為類似的原因，你絕不應該以得獎或受到賞識為從事數學的主要原因。從長期來看，更好的方式是去做好的數學和對你的領域有所貢獻，最終獎勵和賞識自然會來的（實至名歸）。

6、學習和再學習你的領域

數學研究中（包括你選擇的專業）學無止境。

例如我仍然在學習基礎調和分析中的驚人之處，而我寫出此領域的論文已經十年之久了。只因為你知道一條基本引理X及其證明，你不應低估這條引理的價值——你能找到替代證明嗎？你知道為何需要那些假設？已有了哪種推廣，或是作為猜想的推廣，抑或推廣的思路？對某些應用，X是否有較弱的或是簡單的形式？X在模型例子中起到何種作用？何時適合使用X？X能解決何種問題，而對哪些無能為力？在其他領域有哪些相似的引理？X是否可以歸入一個更廣泛的綱領？對你的領域作講演尤其有用，或者寫下講稿或其他的說明材料，即使只為你個人服務。

透過內心的速記，你最終能夠吸收即使是很難的結果，這不僅是你能夠輕鬆使用它們，而且可以省下精力來學習更多的東西。

7、不要害怕學習你的領域外的東西

人們普遍有數學恐懼症。不幸的是，有時專業數學家也有數學恐懼症。如果為了在你的問題中取得進展需要學習其他數學領域，這是件好事——你將拓寬掌握的數學領域，同時你的工作將変得更有吸引力，不論是對你領域內的人還是對其他領域的人。

如果一個數學領域很活躍，那就值得去了解它為何如此引人，人們都在做些什麼問題，有些什麼棒的或者令人驚訝的見解（insight）、現象、結果。那樣的話，如果你碰到了類似的問題、障礙或現象，你就知道從哪去找解決方法。

8、瞭解你的工具的侷限性

數學教育（和研究論文）很自然地傾向於關注有效的技術。但是同等重要的是，知道你的工具何時失效，從而避免在從開始就註定失敗的方法上浪費時間，轉而尋找解決問題的新手段（或尋找新問題）。因而，知道一些反例，或容易分析的典型狀況，就非常重要，同樣重要的是知道你的工具能夠處理的障礙和沒希望解決的障礙。同樣，你也應知道在什麼情況下其他方法可以替代你選擇的工具，而各種方法之間的優劣各是什麼。

如果你把最喜歡的工具視為一種“魔杖”，一點就把問題神奇地給解了，可你卻沒有別的解法或其他方法來理解這個解答，這就表示你需要更好的理解這種工具（及其侷限性）。

9、瞭解其他數學工具的能力

這是上一條的推論。當聽報告或讀論文時，你會發現，有一些你感興趣的問題是用你不熟悉的工具解決的，而你有的工具好像對著些問題無能為力。這時候，你一方面應該考慮你的方法是否確實能夠解決類似的問題，另一方面應該瞭解那種工具為何有效——例如，尋找那種工具有不凡效力的最簡單例子。

一旦你比較了新舊工具間各自的長處和不足，以後當新工具可能有效的時候，你就能想起它來。如果做了足夠的聯絡，你就將把它永久裝入你的口袋。

10、默默問自己問題——並解答這些問題

你學數學的時候，不論從書還是報告中，通常只看到最後結果——非常聰明、優美無暇的表述了一個數學主題。然而，發現新數學的過程遠為凌亂，充滿朝著幼稚的、徒勞的或沒有意義的方向的追尋。雖然我們更願意忽略這些失敗的探索，但實際上它們是人們獲得更深理解必經的過程，並且（透過排除的過程）最終對準正確道路前進。

所以你不要怕問自己“愚蠢的”問題，質疑一個領域的傳統觀念。偶爾回答這些問題會帶來驚人的結論，但更多會說明傳統觀念存在的道理，這也很值得了解。例如，對某個標準的引理，你可以問去掉某個假設會發生什麼，或試圖加強結論；如果經常用方法X證明一個簡單的結論，你可以看看是否用方法Y替代證明；新的證明也許沒有原來的漂亮，或根本不行，但卻可以反映X和Y相對的能力，這也許有助於證明不那麼標準的引理。

11、懷疑你自己的成果

如果你出乎意料不費力氣的解了一個問題，而且你也不明就裡，那你應該以懷疑的眼光來分析這個解法。特別的，這個方法也許能夠證明更強的結論，而這個結論已知是錯誤的，那就說明此方法有問題。類似的，當你想去證明某個很強的斷言，你也許應該先去找一下反例；不論是找到一個，這就節約了大量時間也許還有發表它的價值，還是遇到了一些障礙，這會提示你需要做什麼來證明這個斷言（特別的，它可以“找到需要消滅的敵人”）。

實際上，你也應該用這種懷疑主義對待其他數學斷言；至少它們有助於你理解為什麼這個斷言成立和它有多強。

12、要有遠見 ，Think ahead

人們很容易陷入工作中的細節而忘記正在做的工作的目的；所以人們應該常常停下來回想為什麼自己在追求這個特定的目標。例如，如果你正試圖證明一條引理，問問你自己——如果證出來的話，那可以怎麼用這條引理呢？引理的哪個部分對你最重要？較弱的引理是否足夠？引理是否有更簡單的形式？是否值得嘗試去掉引理中的一個假設，應用中這條假設是否難以滿足？

通常，在證明引理之前，你並不準確清楚引理的具體描述，但是即使還沒證明所有的細節，你也應該能從引理的形式中瞭解一些有關引理具體描述的東西。這些問題可以幫助你在花費過多時間證明引理前，先把引理陳述為最優形式，從而更有效地利用時間。

類似的原則也可應用到更小的尺度（如證明小的斷言，或做冗長的計算）和更大的尺度（如證明一個定理，解一個問題，或探索一個研究目標）。

13、積極參加報告會和學術會議，包括那些不與你的工作直接相關的

現代科學更多的是協作行為，而不是個體行為。你需要知道其他領域的發展狀況，和其他數學家的興趣所在；這經常帶給你的工作有價值的觀點。

你還需要知道那些領域內和相鄰領域的名人，並且向同事們介紹你自己。這樣當你發現自己的工作與其他領域有新的聯絡時，或者需要同其他數學家合作時，就能夠有所準備。

是的，有人可以用多年時間獨自解決一個大問題——但他必須先與其他數學家討論，學習所有解決這些問題所必需的技術、直覺和其他背景。不要期望能夠100%理解任何報告，尤其是你不熟悉的領域；只要你學到了一些東西，沒有白白費力，那麼下回你去聽那個領域的報告就會理解更多。

14、到不同的地方學習

到與大學時不同的地方讀研修生是個好主意，同樣做博士後也應該到另一個地方。即使最好的數學系也有弱點，所以到不同的數學系會擴充套件你的知識並且使你經歷不同的數學文化。

此外，換學校會幫助你完成從大學生到研修生或從研修生到博士後的心理轉変。

15、與你的導師交流

這是不言自明的——導師對你的狀況非常瞭解，並且是指導你的最佳人選。如果情況変成你躲著導師或是導師躲著你，那就非常糟糕了。

特別的，你要注意導師的時間表，同時導師也應該注意你的時間表，和你正在幹什麼；若你想放長假要事先通知導師。

如果導師不在，你應該經常與其他數學家討論數學問題，最好是有經驗的數學家。

16、主動

另一方面，你不應該只依靠導師；如果你想學、做或寫些東西，儘管去做（雖然有時其他東西更優先，如寫論文，會暫時更重要）。查閱圖書舘和網際網路，與其他研修生或教員討論，自己讀論文和書，等等。

17、有耐心

任何給你的問題，一般都需要幾個月的時間才能有令人滿意的進展。雖然有些簡單問題幾周內就能解，但這只是特例。

因而幾個月沒什麼進展是很正常的；可是透過耐心地去掉不好的進攻方向，你把東西都準備好了，所以當突破出現的時候，就可以很快推斷這個問題。有時候，你（或者這個數學領域）只是還沒準備好處理這個問題；有時放開這個問題（但不是完全忘掉），增進一些其他相關問題的技能，過些年再回到原來的問題經常是最佳策略。

順便說一句，多數問題主要靠這種耐心、深入思考來解決；數學中極少有那種“找到了”的瞬間，所以不要因為你沒有碰到這種事而灰心（我就沒碰到過）。

18、有靈活性

數學研究本質上不可預測——如果我們預先知道答案是什麼和怎麼去做的話，那就不叫研究了！所以人們會被帶到不可預測的方向，最後有時你會發現更有趣的新問題或數學領域。因而，雖然人們應該有長期目標，但卻不應該過於死板，這些目標應該不斷隨新進展而更新。

一個推論是，你不應該只因為一個研究員而做職業決定（如去哪個大學），因為那個研究員可能會轉走，或者你的興趣會改変。

另一個推論是，你不應該在有可行方案之前宣佈你要解決一個有名的問題，因為如果那個問題比預期更難的話，你就很難優雅地放棄那個問題而轉入其他多產的方向。這點在基金申請中同樣重要；說你想解決著名問題X或你想發展或使用著名理論Y並不能打動基金審批者，除非你有相應的計劃（例如選擇一些較容易的未解問題作為中間目標，以及取得進步的記錄。

1988年，陶哲軒從澳大利亞總理鮑勃·霍克手中接受國際數學奧林匹克金牌

19、敬業

認真負起你的職責；在朋友間輕率沒有問題，但對同事確是煩人，尤其是那些忙於類似職責的人。

寫文章也要認真負責；你的文章將永遠記載在期刊上，而且一些今天看起來聰明的東西，也許會在以後極大地使你難看。

敢於下斷言是好的，但是過於self-promoting或喜歡競爭一般來說會起副作用；如果你的工作好，這會不言自明，並且最好把你的精力用來創造新數學而不是用來與老的數學爭辯。

不要覺得研究中的挫折（如文章被拒，或發現了一個錯誤）是針對個人的；一般會有針對著些問題的建設性的解決方法，從而使你成為更好的數學家，並且避免這類問題。

在文章中大度地確認別人的工作、致謝和處理署名順序（但要保證歸屬正確）。

寫作的語氣要客觀和專業；要儘量避免個人看法（例如一個問題、文章或作者的重要性），如果有必要的話，要清楚標出來是個人看法。

在你的個人主頁上，把個人的東西與職業的東西分開；同事們會訪問你的主頁來下載論文、預印本、聯絡方式和簡歷，同時可能対你的業餘愛好和opinions並不感興趣。（相反的，朋友們可能対你的研究不感興趣。）

20、為你的聽眾著想

這主要針對論文，但也適用於報告和seminars。

另一方面，數學中最重要的事情是正確地得到結果。然而，你也需要真誠地努力去與你的聽眾交流這些結果。講解得好也很困難——有時幾乎與做好研究一樣難——而有人也許覺得只要證明了結果，他們並沒有義務去解釋它。而這種態度會毫無疑義地激怒潛在的最強的支持者或你工作的developers，最終帶來副作用。

所以，你應該認真思考諸如論文的邏輯結構、符號的選取和佈局，以及在引言以及其他章節裡的啟發性的、不正式的、motivational和總體的概括性的材料。理想的情況下，文章中的每一部分，讀者應該知道直接的目標是什麼，長期目標是什麼，核心論斷和關鍵步驟會在哪裡證明，符號、引理和其他引進的東西與這些目標關係何在，明白這些論證上下文的含義。（簡單說來，一篇好的論文應該告訴讀者“為甚麼”和“在哪裡”，而不僅是“如何”和“什麼”。）

現實中人們往往達不到這些目標，但仍有一些不需損害結果就能增加文章可讀性的方法。有時候可以把論文擱到一邊一段時間，直到你忘掉那些細節，然後從新的角度（更接近你的典型聽眾）重新讀它；這樣經常可以使有意義的結果顯現出來，從而可以很容易地寫出來。

21、不要過早的沉迷於一個“大的問題”或“大的理論”。

這是數學中的一個十分危險的職業病——一個人集中注意力於一個領域中的一個非常難的問題（或一個大一統的理論），排斥其他數學活動，而這時他還沒真正準備好（既包括數學知識也包括他的事業方面）投入如此多的研究時間。當他開始忽略其他任務（比如寫和發表“次要的”結論），希望最終解決主要問題或建立革命性的新理論這種“大回報”來補償其他方面的缺乏進展，這就是一個強烈的訊號表明他應該重新平衡要優先考慮的事了。

雖然人們像上面所說的那種著迷的方式解決了一些主要的問題，提出了一些重要的理論，但這種成功僅出現在數學家能夠a。已經證明在這個領域可以寫出重要論文， 而且b。工作有保障（例如終身職位）。如果你還不具備a和b這兩個條件，或者你的思路仍有明顯不確定性的部分（或你的大理論還沒有明確的和驚人的應用），我強烈建議一種更平衡的方式：

記著這個大問題或理論，有時間想想它們，但是把大部分時間花在更可行的“觸手可得的果子上”

，這能夠增長你的經驗，數學能力，和表明你已經準備好進攻更艱鉅的目標的信用。

2014年，頗受矚目的“科學突破獎”（Breakthrough Prize）在美國舊金山頒發了其首屆數學獎。包括陶哲軒在內的來自歐美的5位傑出數學家獲獎，並各自獲得高達300萬美元的獎金。這是目前全世界在科學領域裡的最高額獎金，超出120萬美元的諾貝爾獎兩倍有餘。

22、演講與論文不同

做好的演講是很難的，尤其是剛開始職業生涯時。

人們應該避免把演講當成論文這種普遍的錯誤，放入很多細節、技術和形式化。（尤其報告決不應該只是一些研究論文的直接拼湊！）除了非常熟悉你的工作的人，這種演講幾乎不可能聽得懂，尤其是（與閱讀論文不同）聽眾很難想起四五張幻燈片之前定義的符號和做出的註解。

與之相反，演講應該從更高的層面上和非書面的概觀來補足論文中的內容，尤其是對那種更正規和標準的論證；這使你能夠引導聽眾的注意力到更有趣和重要的部分上去，你可以更細緻地描述這些部分。

一個好的報告應該対“非專家”友好，可以在最初的幾分鐘講一些基本的例子或背景，從而他們不至於一開始就完全迷惑了。實際上，即使是專家也會願意聽到対背景材料的回顧；即使這些材料都是舊的，但是有時你會有一種新的視角，這就有意義了。同時，如果你把背景材料部分組織合理，你対新材料的處理就可以更加容易和自然地被聽眾接受。

一個特別有效的方法是，在講新定理Y的證明之前，先回顧標準定理X的Y形式的證明，然後證明Y的時候只需要使用重複證明X的步驟，同時做一些關鍵改変，我們要把這些關鍵點突出出來。（當然，如果可以的話，你應該把X的證明留在黑板或者螢幕上。）這樣經常效果更好，甚至可以更快，比起為了節約時間跳過X的證明而直接開始證明Y的方法。

23、多用回收站，備份論文草稿

不是每個想法都會帶來成功，也不是每個第一份草稿就能構成最終草稿的一個好模板。即使對最好的數學家也是如此。

有些時候，事情就不像最初計劃的方向發展，你需要縮減計劃，調整計劃，或放棄計劃；有時你發現一個耗費了你很多時間的引理對這篇論文沒有什麼作用，需要不情願地刪掉，或者放到以後的論文中去；也有時你發現寫了一半的論文的結構不好，需要重新來寫。（說實話，一些我最自豪的論文，因為一次或多次重寫，使得你幾乎從中完全看不出最初的草稿。）

你必須明白什麼時候要有耐心和持之以恆，什麼時候應該注重實效；在死衚衕中頑固地不停工作不是使用時間的有效方式，同時如果把你工作中最後一點的雞肋都發表出來，那就很難達到你對自己作品所期望的質量。當然，數字時代儲存自己全部的工作更加容易，你也應該在大修論文之前備份一份這篇論文。甚至使人尷尬的錯誤工作（我也有一些這種錯誤的工作，幸運的是在發表之前就被發現了）也應該儲存起來，因為你不可能知道是否能從中挽救出一些東西，同時記錄下錯誤有助於避免以後再犯。

24、寫下你完成的工作

在早期職業生涯有許多次，我讀到、聽說或者偶然發現一些精巧的數學技巧或論證，並且以為自己完全理解了，所以不需要把它記錄下來；但是一段時間，比如六個月以後，當真正需要這個技巧的時候，我卻完全推不出來了。終於我下定決心記錄下（在電腦上做這件事更合適）所有遇到的有趣論證的概略——不需要達到出版水平，但是詳細到使我可以安全地的忘掉細節，並且在需要的時候可以從概略中容易地復原論證。我建議你也這樣做，因為這樣做你就可以永遠找到這個論證。

除了這個顯而易見的好處外，還有其他幾個好處。

首先，你可以聯絡數學寫作，包括技術層面（比如學習使用TeX）和如何陳述才能使人容易理解。

其次，這可以檢驗你是否只是從表面上懂得了這個論證。

再次，這樣可以減少要記憶的東西；你不再需要記住論證的精確細節，從而可以將記憶力用於學習新的問題。

最後，你寫的東西可能最終有助於以後寫的論文、講稿或研究計劃。

25、公開你的成果

隨著全球資訊網，尤其是arXiv之類的預印本伺服器的出現，人們沒有藉口不把自己的預印本放在網上，使得對你工作感興趣的人可以找到它。（大部分期刊也在網上可見，但是鑑於出版往往會比預印本晚以年來計算的時間，把預印本放上網仍然有好處。）特別的，你的工作將出現在那個領域搜尋引擎的結果中（我曾經這樣遇到過很多篇有趣的論文）。這將有助於提升你和你的工作在同事中的知名度，並且可能帶來未來的合作，或其他學者在你的工作之上繼續研究（同時引用你的論文）。

你可能會擔心公開自己的工作，可能會給這個領域帶來太多的競爭，但是如果其他人對這個領域有如此之大的興趣的話，這種競爭遲早會到來的，而公開自己的工作至少可以帶來優先權（提交給arXiv之類的伺服器，預印本有可靠的時間戳）和be acknowledged in citations。

當然，如果可能的話，你應該使預印本達到可以發表的質量，雖然這條要求不像対於要發表的論文那麼重要，因為可以很方便地更新預印本。

至於是否將預印本email到本領域的其他專家，我只會在他肯定會感興趣的情況下這樣做（例如，它解決了他們提出的某個猜想）。否則，他可能太忙（或者已經対這個問題不感興趣了），所以不能詳細地讀你的文章，或者偶然的，他會當你在推銷，或者認為你自高自大。

大多數情況下，在網上公開你的文章已經足夠了；好幾條途徑可以使你的工作為人所知（如審稿過程、會議、word-of-mouth、預印本郵件列表），而積極推銷論文一般沒有什麼額外的好處。

本文轉載自微信公眾號“文匯教育”（id：wenhuieducation）

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