生活中的魔法數學：平方根的筆算

《生活中的魔法數學》節選：平方根的筆算

作者：［美］亞瑟·本傑明 ［美］邁克爾·謝爾默

譯者：李旭大

隨著行動式計算器的應用與普及，平方根的筆算事實上已經成了一門失傳的藝術和技巧。透過前面的學習，你已經知道了平方根心算的估算方法。現在我將向你講解如何進行平方根的筆算。

你還記得如何採用心演算法估算出19的平方根嗎？現在我們再進行一次求19的平方根的表演。當然，這一次給出的將是確切的平方根：

圖一

例題1

下面，我將描述一種適用於計算任何數的平方根的方法，而上面這個例子將有助於你理解這種方法。

第一步：如果某數小數點前的數位是1、3、5、7或者任何奇數，那麼，它的平方根的第一位數（商數）就是它的第一位數平方根的整數，（換句話說，它的平方根的第一位數是一個最大、但其平方數又比它的第一位數小的數）；如果它的小數點前的數位是2、4、6、8或者任何偶數，那麼，它的平方根的第一位數就是這個數前兩位數平方根的整數（換句話說，它的平方根的第一位數是一個最大、但其平方數又比它的前兩位數小的數）。例如，求19的平方根，因為19的位數是偶數，因此它的平方根的第一位數就應當是19的平方根的整數部分；或者說是某個最大、但其平方比19小的數，而符合這個條件的數就是4。在求出第一位數之後，把它寫在原數前一位數（奇數位數時）或者前兩位數（偶數位數時）的商的位置。

第二步：用原數前一位數或前兩位數減去第一步求得的商數的平方，然後拉下原數接下來的兩位數。由於4²=16，而19－16=3，拉下兩個0之後，目前的餘數是300。

第三步：將目前所得的商數乘以2，（不要理會小數點），然後再在它的後面加上一個空格。由於4×2=8，把8_×_放在目前所剩餘數（即300）的左邊。

第四步：下一個商數是一個最大的數，把它放在兩個空格的位置上，乘積要小於或者等於目前所剩的餘數。對於這個例子而言，這個數就是3，因為83×3=249，而84×4=336，顯然336比300大。在原數拉下的兩位數字的商位寫下這個數。對於這個例子，3就寫在第二個0的商位上。到此時為止，商位上的數是4。3。

第五步：如果想得到確切的平方根數，我們還可以繼續向下計算——用餘數減去乘積（即300－249=51），然後再拉下原數接下來的兩位數。在這個例子中，拉下兩位數之後，51就成了5100，而5100也就成了目前的餘數。接下來可以重複第三、第四步。

要求出平方根的第三位數，首先要用2乘商數（仍不要理會小數點），即：43×2=86。然後把86_×_放在餘數5100的左邊。如果空格上的數是5的話，那麼，865×5=4325，而4325又比5100小（如果取6的話，866×6=5496 ，而5496大於5100），所以5就是所求平方根的第三位數，因此把它寫在接下來兩位數的商位上，在這個例子中就是接下來的那兩個0上。到現在為止，商位上的商數為4。35了。如果想要求出更多的位數，你可以重複上述過程，正如例子中所示的那樣。

下面再舉一個求平方根的例子。在這個例子中，小數點前的位數為奇數：

圖二

例題2

接下來，我們將計算一個四位數的平方根。對於這個例子，我們先考慮這個數的前兩位，以確定平方根的第一位數：

圖三

例題3

最後，如果一個數的平方根是一個有限的數，那麼，在計算到最後時所得的餘數應當是0。例如：

圖四

例題4

讀後感

這個筆算方法的原理就是完全平方公式：

(a＋b)²=a²＋2ab+b²=a²+b(2a+b)

古代數學家求平方根的方法圖解

需要注意的是，a在每一個步驟所代表的數在變化。以例1而言，第一步a是4，第二步a是43，第一步a是435……

第一步a是4，餘數是3，拉下兩個0之後，餘數變成300。

相應的，a從4變成40，2a變成80，我們需要找到b，讓b乘以（2a+b）的乘積小於或等於目前的餘數300。

符合條件的數是3，於是第二步a變成43，餘數是51，拉下兩個0之後，餘數變成5100。

相應的，a從43變成430，2a變成860，我們需要找到b，讓b乘以（2a+b）的乘積小於或等於目前的餘數5100。

以下步驟略……

科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀。再見。