八年級下學期期末複習，平行四邊形中四種數學思想和輔助線的做法

以平行四邊形的知識為載體來考查數學思想的運用，是近年來考試命題的一個熱點，我們主要介紹四種數學思想，分別為：分類討論思想，方程思想，整體思想，極限思想和轉化思想。

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第一部分：思想方法

思想一：分類討論思想

所謂分類就是根據事物的共性和差異性的特點，分別歸類。在分類解決問題時，應注意分類的方法，明確分類標準，做到不重複、不遺漏。

在平行四邊形中，作高一般會出現兩種情況，

①在圖形內；②在圖形外。

（1）過點作下（上）側邊的高

過點A作ABCD下側的邊CD上的高AE，因ABCD傾斜方向的變化，高會存在兩種情況。

（2）過點右（左）側邊的高

過點B作ABCD的右側邊AD上的高AE，因ABCD傾斜大小的變化，高會存在兩種情況。

例題1：

在ABCD中，BC邊上的高為AE=4，AB=5，EC=2，則ABCD的周長等於多少？

分析：分∠BAC為銳角和鈍角兩種情況討論，即高在平行四邊形的內部和外部兩種情況，根據勾股定理計算得到BC的長即可。

在平行四邊形中，作角平分線一般會出現兩種情況，截另外一邊兩條線段或兩角平分線的交點的位置有兩種情況。

例題2（一條角平分線）：

ABCD一內角的平分線與邊相交併把這條邊分成5cm，7cm的兩條線段，求ABCD的周長

分析：此題注意要分情況討論：根據角平分線的定義以及平行線的性質，可以發現一個等腰三角形，進而得到平行四邊形的周長。

例題3（兩條角平分線）：

在平行四邊形ABCD中，AD=13，∠BAD和∠ADC的角平分線分別交BC於E，F，且EF=6，求平行四邊形的周長

分析：分兩種情況，首先判斷BA=BE=CF=CD，從而求出BF，得出BE的長，即可得出答案。

思想二：方程思想

對於所要求的數學問題，透過列方程（組）來解決的一種解題思想，就是方程思想，特別是在一些幾何問題中，利用設未知數，列方程（組）求解可使問題的解決變得簡捷方便。

例題4：

如圖：四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC於E，AF⊥CD於F。若ABCD的周長為40cm，AE=6cm，AF=9cm，求ABCD的面積

分析：根據平行四邊形的周長求出BC+CD=20，再根據平行四邊形的面積求出BC=CD，然後求出CD的值，再根據平行四邊形的面積公式計算即可得解。

還有轉化思想，整體思想，極限思想等，具體內容可參考講義內容。

02

第二部分：平行四邊形中的輔助線

利用平行四邊形的性質，可以利用這些性質構造平行四邊形。

方法一：利用一組對邊平行且相等構造平行四邊形

方法二：利用兩組對邊分別爬行構造平行四邊形

方法三：利用對角線互平分構造平行四邊形

例題5：

如圖，AD、BC垂直相交於點O，AB∥CD，又BC=8，AD=6，求：AB+CD的長．

分析：過點C作AD的平行線，交BA的延長線於點E，先證明四邊形ADCE是平行四邊形，得出CD=AE，CE=AD=6，再證明CE⊥BC，於是根據勾股定理得到BE=10，進而求出AB+CD=BE=10。

輔助線一般不是憑空產生的，有些題目比較難，需要新增多條輔助線。

更多內容，可獲取電子版後再檢視。

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第三部分：構造中位線常用的輔助線

方法一：連線第三邊構造中位線

方法二：連線兩中點構造中位線

方法三：取中點構造中位線

方法四：延長一邊構造中位線

方法五：延長兩邊構造中位線

方法六：作平行線或倍長中線先構造8字全等再構造中位線

例題6：

如圖，在

△

ABC

中，

∠

A

＝

90°

，

AC

＞

AB

＞

4

，點

D

、

E

分別在邊

AB

、

AC

上，

BD

＝

4

，

CE

＝

3

，取

DE

、

BC

的中點

M

、

N

，求線段

MN

的長

分析：

作

CH

∥

AB

，連線

DN

，延長

DN

交

CH

於

H

，連線

EH

，首先證明

CH

＝

BD

，

∠

ECH

＝

90°

，求出

EH的長度

，利用三角形中位線定理即可解決問題。

本題考查全等三角形的判定和性質，三角形的中位線定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會新增常用輔助線，構造全等三角形和中位線解決問題。

可按照文末關鍵字，獲取完整電子版。