式子中帶有省略號的加減法應該怎麼做？

“

聰明出於勤奮，天才在於積累。——華羅庚

”

每天十分鐘，數學很輕鬆！歡迎來到暖爸的數學碎碎念。大家好，我是愛數學的暖爸。今天透過著名數學家高斯的故事來跟大家分享一下帶有省略號的加減法的運算問題。

01 數學王子高斯小時候的故事

著名數學家高斯

約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（德語：Johann Carl Friedrich Gau； ，英語：Gauss，拉丁語：Carolus Fridericus Gauss，1777年4月30日—1855年2月23日），德國著名數學家、物理學家、天文學家、幾何學家，大地測量學家，畢業於Carolinum學院（現布倫瑞克工業大學）。

故事是這樣的，說高斯9歲的時候，還在上小學。有一次他的老師出了一道題目，說自然數1，2，3，。。。，100的和是多少？老師本來以為這道題目很難，學生們需要花很長時間才能得到答案，於是就準備去休息一下，結果還沒走出教室，高斯就已經給出了5050的答案。

當時高斯的方法是這樣的：

1+2+3+4+5+...+95+96+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(50+51)=50x101=5050

從1加到100這樣算

高斯透過觀察找到了規律，透過首尾相加的方法，很快得出了答案。

這個故事就引出了我們今天要分享的內容，帶有省略號的加減法應該怎麼做。

02 什麼是帶有省略號的加減法

顧名思義，就是運算式裡包括省略號的加減法。首先這不是一個定義，只是為了讓大家能夠方便理解類似的題目。

比如高斯的老師出的題目：

1+2+3+4+5+。。。+95+96+97+98+99+100

這類題目的特點：

式子中帶有省略號

省略的式子與顯示的式子有相同的規律

一般是有限項

具體有多少項需要根據規律去推算

比如對1到100進行求和可以寫作：

1+2+3+4+5+。。。+95+96+97+98+99+100

省略號代表5到95之間的所有自然數相加

這個式子一共有100項

我們再來舉一個例子：

2021-2020+2019-2018+2017-2016+。。。+5-4+3-2+1

這個式子的規律是加奇數減偶數

省略號省略了6到2015

這個式子一共有2021項

03 如何解答這類的題目

我們解答這樣的題目，主要有下面幾個步驟：

我們來看一下上面舉的例子，並逐步進行分析：

2021-2020+2019-2018+2017-2016+...+5-4+3-2+1

第一步 找規律確定省略號的內容，讀懂題目。

這一步非常的重要，很多問題並沒有具體告訴我們題目中省略號的含義，我們要根據省略號外面的內容，找到正確的題目含義，這個是解答題目的前提。

根據前後的規律，可以看出數字從2021到1，奇數相加，偶數相減。

省略號中包括從2015到6所有的自然數，並且奇數前面為加號，偶數前面為減號。

第二步 確定整個式子包括省略的內容一共有多少項。

根據第一步的分析，式子包含從1到2021所有的自然數，

一共是（2021-1+1）=2021項

第三步 找到題目的規律，對式子進行重新整理，讓式子更簡潔，明瞭。

根據規律我們可以對式子重新整理得到：

(2021-2020)+(2019-2018)+(2017-2016)+...(5-4)+(3-2)+1

其中括號中的內容均為1，那麼一共有多少組括號呢？

我們可以看到每組括號中都有兩個數，最後剩下一個1沒有括號，

那麼根據第二步的項數，我們可知一共有

(2021-1)/2=1010

組括號。

於是原式=1010x1+1=1011

04 這類題目容易出錯的地方

第一個容易出錯的地方：

就是題目沒有讀明白，導致後面的解答全部出錯。避免這個的方法，就是多做類似的題目，鍛鍊自己對題目的理解能力。

第二個容易出錯的地方：

跟第一個類似，就是沒有正確確定省略號中的內容。建議當自己無法確定的時候可以試著多寫出幾項出來，然後再去看規律，出現的項越多，規律就會越清晰，直到正確確定省略號的內容為止。

第三個容易出錯的地方：

讀懂了題目，確定了省略號的內容之後，沒有正確確定式子一共有多少項，最後導致答案算錯。這種建議也是多做題目，並知道計算項數的方法。

1。 在沒有缺項的情況下，自然數的數量是（末尾數字-第一個數字+1）

比如從5到106一共有 （106+5-1）=110項

2。 如果都是奇數，在中間不缺項的情況下，奇數的數量是 （末尾數字-第一個數字）÷2+1

比如從1到99，所有的奇數一共有：（99-1）÷2+1=50項

3。 同樣，如果都是偶數，在中間不缺項的情況下，偶數的數量是 （末尾數字-第一個數字）÷2+1

比如從2到100，所有的奇數一共有：（100-2）÷2+1=50項

當然還有很多不同的情況，大家可以根據實際情況多總結

第四個容易出錯的地方：

就是前面的所有的都做對了，到了計算組合數的時候少算了項，最後導致答案錯誤。這個是最容易出現的錯誤，也是最可惜的錯誤。

例如我們把從1到100求和變成從1到101的和：

1+2+3+。。。+99+100+101

題目很快讀懂，然後首尾相加：

得到：（1+101）+（2+100）+（3+99）+。。。+（50+52）=50x102=5100

細心的同學肯定能夠發現，1加到100是5050，再加上101，應該是5151啊。

所以上面的想法，組合都沒有錯，問題出在少算了一項，因為51沒有組合在括號裡，它是單獨的，所以上面的方法少加了一個51。

正確的方法是

1+2+3+。。。+99+100+101

=（1+101）+（2+100）+（3+99）+。。。+（50+52）+51

=50x102+51=5151

所以要想減少這種錯誤的話，建議大家最後一定要驗證一下組合是不是包含了所有的項。比如剛才最後一組括號裡是（50+52）， 顯然少了51。

最後還是建議大家多找類似的題目，根據我們的解題思路，多練習，以後再遇到帶有省略號的加減法，就再也不是問題了。

好了，今天的數學碎碎念就分享到這裡，大家有什麼疑問歡迎留言討論。