霍金理論系列之一——奇性定理

【面積不減有奇點，霍金輻射無邊界】

在紀念霍金逝世一週年的文章裡，我說過要介紹一下這兩句話裡包含的四個霍金理論，雖然現在才寫似乎有點遲……

這四個理論裡首先提出的是奇性定理，而按照循序漸進的方式，也是應該先從奇性定理開始，所以我就不按我寫的這兩句話的順序了，先從奇性定理入門吧。

奇性定理和奇性疑難

奇性定理又稱奇點定理，它是1970年由英國數學家、物理學家羅傑·彭羅斯和物理學家史蒂芬·霍金共同證明的，它們根據廣義相對論透過抽象而複雜的證明，在宇宙大爆炸之初和黑洞坍縮之末，在很一般的初始條件下也必然存在奇點！而這奇點是一個密度無限大，時空曲率無限大，時空無限彎曲為0的點。在這點上時間和空間都失去意義，與此同時一切依賴於時間和空間物理規律都將失效，也就是廣義相對論本身也失效了。理論上，這樣一個奇葩點是沒有物理意義的，也是不可能物理存在的，霍金和彭羅斯嚴格證明了在廣義相對論正確和極一般的條件下它必然存在，這就產生了理論物理裡的一個著名問題——奇性疑難。用霍金的話說就是：廣義相對論預言了自身的失效，它預言了自己不能作出任何預言。

霍金和彭羅斯

奇點的歷史

第一道防線——電磁力

雖然奇性定理是由霍金和彭羅斯首先證明的，但這並不是他們首先提出的。在廣義相對論提出後不久，德國物理學家卡爾·史瓦西就從廣義引力場方程裡得到一個精確解——史瓦西解。他是史瓦西給定了一個真空靜態球對稱近似平直時空下得到的解，稱為史瓦西度規。在史瓦西解裡出現兩個發散點（簡單說就是出現無窮大），其中一個可以透過座標變換消除，但還有一個r=0點無法透過座標變換消除，這個點就是我們現在所說的奇點。而我們知道現在計算黑洞大小的史瓦西半徑公式正是從史瓦西解裡推匯出來的，史瓦西解預言當一個靜態球對稱的大質量天體發生引力坍縮到史瓦西半徑以內時黑洞視界{任意方向上光速都無法逃逸的邊界}就會形成。在早期理論裡由於量子力學還沒發展起來，當時只發現了自然界的兩個相互作用力——引力和電磁力。因此，大質量天體的引力在突破電磁力後坍縮將無法阻止，最終會形成視界並坍縮為一個奇點。

奇點

愛因斯坦的錯誤

雖然愛因斯坦對史瓦西解讚賞有加，該論文也是在愛因斯坦推薦下發表的，但愛因斯坦並不接受黑洞這玩意，他後來還專門寫了一篇論文證明黑洞是不存在的，在他看來，史瓦西解過於簡化了初始條件，實際情況下是不可能存在嚴格的球對稱天體的。所以在上個月人類首次拍到黑洞的釋出會上主持人說“愛因斯坦是對的”其實是錯的，應該是“廣義相對論是對的”，愛因斯坦錯了……

人類拍攝的第一張黑洞照片

第二道防線——錢德拉塞卡極限

到上世紀20年代後期，量子力學發展起來，天才物理學家泡利提出了泡利不相容原理，隨即一個從印度去英國留學的研究生錢德拉塞卡根據泡利不相容原理提出，大質量天體發展到末期發生引力坍縮時，將由於泡利不相容原理產生一個向外的壓力抵禦引力坍縮，我們稱為電子簡併壓，並計算出電子簡併壓抵禦引力坍縮的極限大約是1。44倍太陽質量，一旦超過這個極限，將沒有任何作用力能阻止其坍縮，最終形成視界和奇點。

第三道防線——奧本海默極限

到上世紀30年代初，科學家在原子轟擊實驗中發現了中子，隨即美國物理學家奧本海默據此提出天體坍縮的最後一道防線——中子簡併壓，當天體質量超過奧本海默極限，理論上就不會有任何作用力能阻止引力坍縮了。視界和奇點終將形成。不過由於對中子層面的物理瞭解非常有限，因此奧本海默極限的數值算得非常不準，所以我們只要知道有這麼個極限就可以了。

黑洞形成

宇宙學奇點

弗裡德曼模型

在宇宙學裡首先引入奇點的應該是蘇聯數學家弗裡德曼，他根據不含宇宙常數的廣義相對論場方程提出的三種宇宙學模型裡，沿時間回溯時，在t=0處都會出現奇點。但弗裡德曼的運氣就沒史瓦西好了，他的模型同樣是寄給了愛因斯坦，結果老古董愛因斯坦拒絕推薦發表，然後他自己寄給了雜誌社，結果走了狗屎運碰上愛因斯坦審稿，還是拒絕發表……最後他只能把論文發給了一家不知名的數學雜誌並最終發表。

三種二維化的弗裡德曼宇宙模型

宇宙大爆炸模型

但隨著美國天文學家哈勃發現了遠方星系隨距離增加的紅移現象，物理學家據此得出宇宙正在膨脹。40年代末，弗裡德曼的一個學生，美籍俄裔物理學家喬治·伽莫夫據此提出了熱大爆炸模型，並隨後預言了宇宙背景輻射，宇宙背景輻射最終在70年代被證實。而熱大爆炸模式回推同樣會在t=0處出現宇宙奇點。

宇宙大爆炸

初始條件

在廣義相對論的各種解裡，奇點似乎是不可避免的，但是愛因斯坦的反對依然非常有力——在所有解裡，初始條件都需要精確設定。比如史瓦西解需要嚴格的球對稱，弗裡德曼解則需要物質分佈均勻和各向同性……

最早嘗試證明奇點在一般條件下也必然存在的是英國數學家彭羅斯，不過後來他被霍金帶歪了，成了一位物理學家……他在遇見霍金之前已經證明了任何足夠質量的天體在引力坍縮後都必然產生奇點，不需要特殊的初始條件，我們可以把這種坍縮產生的奇點稱為時間的終點。

霍金在瞭解彭羅斯的證明後認為，如果把彭羅斯的引力坍縮過程反過來，變成膨脹過程，則所有宇宙膨脹過程都必然始於一個奇點。也就是弗裡德曼的所有模型，當然包括伽莫夫的宇宙大爆炸模型都必然始於一個奇點！我們把這種奇點稱為時間的起點。而奇點的出現只需要很普通的條件：1、廣義相對論是正確的，2、宇宙包含了我們現在看到的這麼多物質。

不同的膨脹宇宙都必然始於奇點

新的希望

奇點的出現預示著宇宙必然有一個開端，並且預示著我們無法瞭解宇宙大爆炸是因何發生的。因為奇點處所以的物理規律都失效了，我們無法對奇點作出任何推論和預言。它同時預示著廣義相對論是不完備的，因為它預言了自身的失效。

現有理論的矛盾也是著新物理誕生的機遇，科學家開始嘗試把量子力學引入廣義相對論，學界稱這種尚未成形的理論為量子引力理論，它將消去廣義相對論的所有奇異性，也就是奇性疑難將在量子引力理論下不復存在。我們期待這新物理理論的誕生吧！