量子力學 1 扒一扒量子力學的五條基本假設

提到

量子力學

，很多人腦海裡浮現的是各種物理量量子化、薛定諤方程，甚至聯想到量子糾纏、量子隧道等博人眼球的詞彙。但當我們問起量子力學究竟是什麼的時候，沒多少人能鼓起勇氣把自己的理解說完，甚至物理專業的同學們談起量子力學時心裡也是相當沒有B數的。費曼說：“我可以確定地說，沒人懂量子力學。”這句話勸退了多少曾經對物理興趣滿滿的同學們（畢竟量子力學量力學）。為了幫助大家量力學量子力學，在這裡整理並詳細分析了量子力學的五條基本假設。

首先我們要意識到，量子力學規律是由人們在微觀粒子實驗中提煉出來的，這些規律再彙總成五條基本假設。由這五條基本假設加上數學邏輯推導可以推出量子力學規律，這些規律反過來成為日後微觀體系實驗的理論基礎。

假設一：微觀體系的運動狀態由相應的波函式完全地描述

自由粒子的波函式為平面波

粒子的運動狀態用波函式（也叫態函式）來描述，自由粒子的波函式在上面已給出，表示自由粒子的波函式是平面波。我們看到，波函式是一個複函式，它是位矢r 和時間t的函式。波函式歸一化後，可給出粒子在這個運動狀態下，在任一時刻的座標、動量以及其它所有力學量取值的機率分佈，用他們統計性地完全確定這個運動狀態。如果問波函式的物理意義，物理學家們還沒想明白，不過我們可以從下面幾點來理解：

波函式與微觀粒子的運動狀態一一對應，對於一個微觀粒子來說，它的波函數里包含了它的所有資訊；

波函式的模（因為波函式是複函式，所以可以取模）的平方有明確的物理意義：它表示粒子在某一時刻出現在某一單位體積內的機率。

自由粒子波函式為平面波其實很好理解，因為我們對光很熟悉。如果一束光子不受外力影響地傳播，那麼該光波的波函式就是平面波的波函式，這一點是人們很早之前就知道的，我們現在可以理解為這個波的概念從光子向所有微觀粒子進行了推廣。另外，當年薛定諤湊出薛定諤方程時，也用了這麼一條，就是他湊出的方程在沒有力場的情況下應該解出來得到平面波。

另外提一點就是，為了讓波函式能更好地符合我們的物理認識，對波函式的數學性質進行了限制，被稱作波函式的三個標準條件，就是單值、有限、連續（標準條件用於被限定在有限空間內的波函式，不適用於能發散至全空間的波函式，如平面波）。

最後，這條假設可以簡單記為：

運動狀態由波函式描述

。

假設二：對任一非相對論性微觀體系，單粒子或多粒子，其運動都遵從薛定諤方程

薛定諤方程

我們可以從以下幾個方面理解薛定諤方程，並能夠自己湊出薛定諤方程：

由於波函式滿足態疊加原理，波函式又是方程的解，因此描述波函式隨時間變化的方程得是一個線性方程；

方程的係數應該只含有內稟物理量，如質量m、電荷e，不應含有與個別粒子運動狀態有關的量如動量p；另外，方程的係數應該包含普朗克常數，因為催生量子力學的幾個實驗的解釋中全都出現了普朗克常數；

因為波函式是關於位矢r 和時間t 的函式，所以方程應該是關於r 和t 的偏微分方程，並且不能超過二階，因為幾階偏微分方程就需要幾組限制條件來確定最後的積分常數，對一個一般的系統我們知道系統的初始條件和邊界條件就很不錯了，很難再多一組限制條件；

由於經典力學是量子力學的極限情況，所以方程應該滿足的一點是：當普朗克常數趨於零時，方程過渡到牛頓方程；

對於自由粒子這一特殊情況，方程的解應是平面波。

另外，量子力學與牛頓力學不同的一點就是：牛頓力學中運動方程和守恆律是兩套各自獨立的方程，而量子力學中由薛定諤方程可以完全推匯出機率流守恆定律。

值得一提的是：

假設一告訴我們粒子運動狀態用什麼函式來描述，接著假設二就告訴我們這個函式滿足什麼方程，也就是說告訴了我們這個函式要怎麼算出來。

這條假設可以簡單記為：

薛定諤方程。

假設三：微觀體系的力學量由體系波函式張開的Hilbert空間中的線性厄米算符表示

Hilbert空間指的是定義在某數域上的、完備的線性內積空間。就是說一個我們熟知的線性空間中，再給他定義一個內積運算，這個空間就成了一個Hilbert空間。在量子力學中用到的的Hilbert空間是定義在複數域上的。

下圖給出了幾個基本力學量的算符表示：

幾個基本的力學量算符

力學量算符必須滿足的條件：

必須是線性算符，這是態疊加原理的要求；

必須是厄米算符，因為要求本徵值是實數；

本徵函式必須構成完備組。

從數學上來看，厄米算符的性質整理如下：

厄米算符的平均值是實數；

在任何狀態下平均值都為實數的算符必為厄米算符；

厄米算符的本徵值為實數，厄米算符在本徵態中的平均值就等於本徵值；

對一個厄米算符，屬於不同本徵值的本徵函式正交；

厄米算符的簡併的本徵函式可以經過重新組合後使它正交歸一化；

厄米算符的本徵函式系具有完備性；

厄米算符的本徵函式系具有封閉性。

力學量算符的本徵值譜給出這個力學量的所有可能取值。波函式按正交歸一完備的本徵函式組展開，展開係數的絕對值的平方給出體系的這個力學量在這些運動狀態下所有可能值的機率分佈。

這條假設可以簡單記為：

力學量由算符表示。

假設四：算符之間有確定的對易關係，座標算符和動量算符之間滿足基本量子條件

基本量子條件如下：

基本量子條件

我們已經知道力學量是用算符來表示的，那麼接著由這裡給出的基本量子條件我們就能確定各個力學量之間的關係。這些關係把我們引向一個重要的問題上：什麼情況下一個力學量有確定值？什麼時候兩個力學量可以被同時確定？這裡的證明寫起來就太麻煩了，如果大家有興趣的話隨便找一本量子力學的書看看就好，我們重點分析結論給我們帶來的物理意義。

當且僅當在一個力學量的本徵態下測量這個力學量時，這個力學量才有確定值，而這個確定值，就是該力學量在這個態的平均值；

在非本徵態下測量該力學量，則沒有確定值，但是有各種可能值，這些可能值就是該力學量的本徵值，各個可能值出現的機率都是確定的，所以有確定的平均值，而且平均值是由該力學量的本徵值經過統計平均而得來的；

當兩個或多個力學量相互對易時，它們有完備的共同本徵函式系，在這些共同的本徵函式中測量這些力學量，它們將同時具有確定值；

如果兩個力學量不對易，則它們滿足不確定性原理：

不確定性原理

具體到常見的力學量而言，有：

不確定性原理

在此我們做一些討論：

當兩個力學量相互對易時，它們的共同本徵態的特性不能止由其中一個決定。因此，要完全確定體系的狀態，需要一組相互對易的力學量，由這組力學量的本徵值或量子數來確定體系所處的狀態。以氫原子為例，氫原子的狀態由一組量子數（n，l，m）確定，這組量子數對應的力學量為能量、角動量、角動量的z分量，這三個算符相互對易，這三個力學量完全確定了氫原子的狀態。我們稱這一組完全確定體系狀態的力學量為力學量的完集，完集中力學量的數目與體系的自由度的數目相同。

從上面的結論還能看出，簡併來源於不完全測量。確定氫原子狀態時，需要同時測量能量、角動量、角動量的z分量三個物理量，如果只測量了能量和角動量，沒有測角動量的z分量，測量就不完全，就導致了關於量子數m的2l+1度簡併。

另外要注意，不確定性原理不是一個獨立的原理，而是波粒二象性和波函式的統計解釋而導致的必然結果。再者，不確定性原理不能說成“測不準關係”，那樣容易讓人誤解為是儀器的精度極限，事實上，不管儀器精度多麼高，物理量本身就是不確定的。

基本量子條件的重要性在於，假設三給出了力學量的表示方法（用線性厄米算符表示），接著假設四中的基本量子條件則給出各個算符之間的關係。

在量子力學中，運動狀態和力學量是完全不同的概念，我們可以看到，假設一、二針對運動狀態態的描述及運算，而假設三和四則針對力學量的描述及計算。

這條假設可以簡單記為：

力學量算符由量子條件確定。

假設五：全同的多粒子體系的波函式對於任一對粒子交換而言具有對稱性：玻色子的波函式是交換對稱的，費米子的波函式是交換反對稱的

第五條假設是對第二條的補充，它指出：一個全同粒子系的運動狀態不僅要求遵從這個體系的薛定諤方程，而且必須具有相應的粒子交換對稱性。

這條假設可以簡單記為：

交換對稱性。

量子力學的這些假設是建立在實驗事實的基礎上的，其正確性也已經實驗事實檢驗。然而量子力學終究是不夠的，後續物理學家們又開創了量子電動力學、量子場論、相對論量子電動力學等學科，等待大家去探索和完善。