含有三角函式的方程怎麼解？牛頓切線法應用例項

雖然牛頓切線法常被用於求高次方程的近似解。但牛頓切線法其實並不僅針對高次方程，它是可以用來求一般方程的近似解的，例如下面這個方程中，包含有三角函式，也適用牛頓切線法。

牛頓切線法在系列影片“老黃學高數”第211講中有詳述，這裡就不做介紹了。直接應用起來。而且還會有一些應用技巧分享給大家。

求方程x=0.538sinx+1的根的近似數，精確到0.001.

分析：首先為了方便描述，記函式f（x）=0。538sinx+1-x，然後求f‘（x）和f“（x）。 這裡求得f’（x）<0，說明這是一個單調減函式，這樣的函式最多隻有一個根。一般會求函式趨於無窮的極限，證明它有一個根。不過這樣做其實是多餘的，無謂增加運算量。

因為接下來我們會檢驗這個根的位置，根據經驗，可以很快發現方程的這個根在（1，2）上。因為f（1）>0，而f（2）<0，由根的存在性定理可知。既然這樣就可以找到根所在的區間，又何必去證明它是否存在呢！ 換言之，如果不存在，那這道題也就沒有意義了。

牛頓切線法的第一步，就是要找到根所在的區間，一般會取一個單位區間（n，n+1）。函式在這個區間上，必須滿足具有單調性和凸性。顯然，這個函式在（1，2）上是單調減，且上凸的。根據函式的單調性以及凸性的不同，牛頓切線法在這裡分成四種情況，有兩種運算策略，詳情請觀看“老黃學高數”第211講。

而這個函式在零點所在的區間（1，2）上，單調性和凸性屬於牛頓切線法的第四種情形，如下圖：（注意，這並不是f（x）的部分影象）

如圖，從B點畫切線交x軸於x1，求得x1約等於1。583。 老黃第一次解這類題，在這裡就傻傻地開始檢驗x1的誤差。其實哪有那麼快就得到近似解

啊

，這個x1多半是非常不準確的。哪怕符合精確度要求的，也可以不用求誤差，直接取第二個點，用來比較x1的誤差。這是老黃第二次解這類題的時候，總結出來的經驗。老黃的意思是，

每一道練習，你都要歸納出經驗，不然就差不多相當於白做了

。

再從x1畫切線交x軸於x2，求得x2約等於1。538。 瞧！1。583-1。538=0。045，說明x1的精確度根本不符合要求。那麼現在就檢驗x2

的

誤差了嗎？其實檢驗誤差不如繼續求點簡便。

所以繼續從x2畫切線交x軸於x3，求得x3約等於1。538。 這就不用老黃解釋了吧。很明顯的，方程的近似根精確到0。001，就是1。538。

這是老黃第三次解這類題。那麼老黃有沒有得出什麼經驗呢？當然有了。要不然不相當於白解了嗎？老黃的經驗是，當精確度要求為0。001時，如果xn-x_小於0。005，那麼xn就是方程的近似解。否則就要繼續求點。而且這個經驗是可以拓展的。換句話說，檢驗誤差這一步，完全是可以省略掉的。否則每個點都要檢驗誤差，多餘的重複運算就太多了。

求點的公式是牛頓切線法的核心，它是點列{xn}的一個通項關係式：

xn=x_-f（x_）/f‘（x_）。

最後我們還是可以檢驗一下這個近似根的，就是強化知識嘛。當然它並非必要的。求導函式在［1，2］的最小值約等於0。707，用x3的函式的絕對值除以這個最小值，可以得到x3的絕對誤差約等於0。00004，遠遠地小於0。001。 因此1。538的確就是方程精確到0。001的近似根。事實上，它的精確度不僅只有0。001，而是精確到0。0001了。

最後以圖片的形式展示解題的過程如下：

函式f（x）的影象其實是這樣的：

可以把上面的分析過程和求解過程結合起來閱讀，對整個解題過程才會有更深刻的理解。而且一定要從中得到屬於自己的知識哦。