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論人類下一代語言的可能—5.1一階謂詞邏輯簡述
項可以組成什麼字
一般說法，邏輯是有效推理的形式。邏輯學可追溯至亞里士多德（
Aristotle
，公元前
384
～前
322
，古希臘的哲學家、科學家、邏輯學家、教育家），他創立的三段論標誌著古典邏輯階段的形成。我們透過例子來說明。
所有吃草且會奔跑的都是動物
馬是吃草且會奔跑的
所以，馬是動物
在這個例子中，替換“馬”為“牛”，或者系統替換“吃草且會奔跑”“動物”“馬”三者，都不影響推論的有效，詞項：“所有”“是”“所以”構成了這裡的推理形式，一般化這個形式如下：
所有
M
是
P
S
是
M
所以，
S
是
P
我們再看下面的例子：
所有吃草且會奔跑的都是兔子
馬是吃草且會奔跑的
所以，馬是兔子
“
馬是兔子
”
這當然是荒謬的說法，但這裡的邏輯應用沒有問題，結果的荒謬是因為前提“所有吃草且會奔跑的都是兔子”是荒謬的，純粹邏輯並不關心前提，結論是否荒謬，也不關心兔子、馬這些詞彙是指稱什麼。邏輯只關注推導的結構與形式是否符合規定，符合規定就是有效的。
“荒謬”是一個感受上帶有情緒的日常詞彙，在邏輯里正式說法是“假”。論證時的每一陳述句或者為“真”，或者為“假”，為“真”或為“假”稱為語句的真值。真值中的“真”“假”通常用“
1
”“
0
”表示。我們在二種意義討論“真”與“假”，一種是經驗的真值，其意義是語句的描述是否與事實相符，這是透過實際的驗證來證實的；一種是邏輯的真值，邏輯上從前提語句推理得到的語句，稱為後承語句，前提語句為真並且推理有效，後承語句真值
=1
，這裡後承語句的真值是邏輯上的真值。
對於構建認知，經驗的真值才是終極的標準，只是人類理論的抽象性與實際環境的複雜性，不一定存在無爭議可實施的驗證方法。存在萬有引力定律的情況下，慣性定律場景就很難真實地存在。理論上這樣構建仍是可行的，但想找到或創造合外力為零的情況來驗證，絕對地說沒有這種可能性。水星近日點的異常進動被認為是對廣義相對論的證明，很多人並不確信這一點，因為並沒有完整地考慮所有因素並精確地進行計算，比如沒有考慮太陽風的影響。另一方面，雖然邏輯的基礎仍存在巨大的爭議，在一般性的應用中，如果最初的前提經驗真值為
1
，推理過程有效，結論的邏輯真值為
1
，通常驗證下來結論經驗真值也是
1
。實踐的有效建立了我們對邏輯的信仰。
亞里士多德做出了初步的邏輯規範，但在自然語言裡應用亞里士多德的邏輯是困難的，原因之一是自然語言的歧義性，我們以“邏輯”一詞為例來說明。對專業人士，“邏輯”一詞指現代邏輯學的邏輯：有效推理論證的形式；對另一些人，這指自然語言中不能脫離語義的自然邏輯；對其他一些人，是指歸納邏輯；多數人可能是不加區分地應用。說“不合邏輯”可能指未遵守有效推理論證的方式，或不夠嚴謹；或是指語句描述與事實不符。可以想象，不同理解的人在一起討論“邏輯”時，場面將陷入怎樣的混亂。
鑑於自然語言在嚴謹應用時難以避免的混亂，德國哲學家與數學家萊布尼茨
（Gottf
rie
d Wilhelm Leibniz
。
1646。7-1716。11）
想到創立一門通用語言，這種語言的使用形式與邏輯規則一致，這樣推理變成一種計算，當發生爭論時，我們可以像在算術裡那樣，透過算一算就得到確定的結論。
1879
年德國數學家、邏輯學家和哲學家弗雷格
（Friedrich Ludwig Gottlob Frege
，
1848。11-1925。7）
出版了《概念文字》（英譯：
Concept Writing
）一書，開始具體實現萊布尼茨的想法。弗雷格的設想不僅是能模仿算術實現機械的推理運算，他的設想首先也是建立一門表達思想概念的語言。
弗雷格首先是用命題表示判斷。命題作為一個整體的單位時，經常用一個小寫字母來表示，如
p
、
q
、
s
……弗雷格參考數學函式的概念改寫了命題的格式。跳過弗雷格的術語與形式，用今天通用的表示法，命題的形式是
P
（
x
）或
P
（
x
、
y
）等。其中
x
、
y
為項，是命題要表述的物件，
P
（）稱為謂詞，表示一種性質或關係，類似於一個函式。我們先說
x
、
y
是常項的情況，自然語句“小明是小學生”命題形式表示為“是小學生（小明）”，自然語句“獅子追逐斑馬”命題形式可表示為“追逐（斑馬、獅子）”。邏輯上我們應用“是小學生（小明）”命題時，是一個描述，同時也是一個判斷，判定
p
是一個事實且
p=
‘小明是小學生’即認為命題：“是小學生（小明）”
=1
，這是在實證的意義上說的。
弗雷格還引入了量詞：
為全稱量詞，
為存在量詞。引入量詞後，
x
、
y
就可以表示變項，
x
：
P
（
x
）表示所有
x
代表的常項，都使
P
（
x
）
=1
。如果用
x
表示學生，可以構造這樣的命題
x
：要做作業（
x
），翻譯為自然語句就是：所有的學生都要做作業。
x
：
P
（
x
）表示存在
x
代表的常項，使
P
（
x
）
=1
。如果用
x
表示鳥類，可以構造命題
x
：不會飛（
x
），翻譯為自然語句就是：存在不會飛的
鳥
。
在弗雷格之前，
1854
年，英國數學家喬治
·
布林（
George Boole
，
1815。11-1864。12
）出版了《思維規律的研究》（
An Investigation of The Laws of Thought
）一書。在這本書里布爾提出了可用於命題聯結的運算：與（合取）、或（析取）、非（否定），運算子號為“∧”“
∨”“
┐
”
，語義上與下述三個日常詞彙接近：並且（
and
）、或者（
or
）、否定（
not
），當然不能用這三個詞彙來理解這三個運算。“∧”“
∨”“
┐
”
，它們可透過真值表無歧義地定義。為了表述方便，下面論述裡的命題先簡單寫為
p
、
q
。
1
）與運算：∧
2
）或運算：∨
3
）非運算
┐
從真值表的定義，可以發現，或運算的
1
∨
1=1
與“或者”一詞的自然語義是有區別的，我或者乘飛機去北京，或者坐高鐵去北京，我不可能乘飛機同時又坐高鐵去北京，一般的語義下
1
∨
1=0
。為適配這種語義，邏輯裡另外定義了異或運算，運算子號為：⊕
4
）異或運算：⊕
我們不需要單獨引入異或運算，所有其他的運算可以用∧、∨
、
┐
定義出：
p
⊕
q=（┐p
∧
q）
∨
（p
∧
┐q）
同樣我們可以使用真值表來驗證定義是否成立
從日常實踐來說，經常用到的是這種運算
——
蘊涵運算，邏輯里語法形式表示為：
，語義對應的日常詞彙是：如果
……
那麼
……
真值表如下：
5
）蘊涵運算
可定義為：
┐
p
∨q。
對蘊涵運算理解的要點是：
P
為真時，
q
為真，才成立；
P
為假時，
q
無論真假，
p
q
都為真，後半句是讓人困惑的地方，學術界也有爭論，你可以理解為這只是個約定。
蘊涵運算的增強運算是等價運算，邏輯里語法形式表示為：
語義對應的日常詞彙是：當且僅當，真值表如下：
6
）等價運算
可定義為：
（p
∧
q）
∨（
┐
p
∧
┐
q
）。
對等價運算理解的要點是：
p
q
相當於
p
q
∧
q
p
上面我們是從與、或、非運算定義出異或、蘊涵、等價運算，如果需要還可以再定義其他的運算。我們也可以不從與、或、非運算出發，定義其他的運算，而是從比如蘊涵、非運算出發，定義出與、或、及其他的運算，如何選擇只是約定與方便的問題。
有了量詞、命題形式、命題聯結方式，它們的連線就可以形成更復雜的表示式，通常認為這些表示式可用來表示我們的觀念或事實。由此方式表達的多個觀念或事實可組成前提，接下來是可進行推理、證明。一串的推理得到結論，或揭示出矛盾，這就構成一個證明。每一步的推理是對邏輯表示式進行轉換，比如說表示式中有“
┐┐
q
”部分，你可以用
“
q”
來替換，這是平時所說的：否定之否定就是肯定。邏輯上的說法是
“
┐┐
q
”與
“
q
”形成等價的關係：
┐┐
q
q
，等價符號二邊可以相互替代。說到邏輯推理，通常最容易想到的是假言推理的這種形式：如果
p
那麼
q
，
p
，所以
q
，專業的形式是
（
p
q
∧
p
）
q
，這是個蘊涵關係，只有右邊可以替代左邊。
邏輯裡
┐┐
q
q
與
（
p
q
∧
p
）
q
稱為重言式，更多的重言式如下：
┐┐
q
q
p
∧
（q
∨
s）
（p
∧
q）
∨
（p
∧
s）
p
∨
（q
∧
s）
（p
∨
q）
∧
（p
∨
s）
┐
（p
∧
q）
┐
p
∨┐
q
┐
（p
∨
q）
┐
p
∧┐
q
p
∨
（p
∧
q）
p
p
∧
（p
∨
q）
p
┐（
x
）
P
（
x
）
（
x
）（┐
Px
）
┐（
x
）
P
（
x
）
（
x
）（┐
Px
）
p
∧
q
p
p
∧
q
q
p
（p
∨
q）
q
（p
∨
q）
┐
p
∧
（p
∨
q）
q
（
p
q
∧
p
）
q
（
p
q
）∧（
q
s
（p
s）
這裡只是列舉了部分重言式。由重言式組成的集合就構成一個邏輯推理的系統。推理過程就是不斷應用系統裡的重言式進行替換的操作。還有那些重言式？重言式如何構成推理系統？這是邏輯學家研究的課題。
由萊布尼茨、弗雷格、布林等人推動發展出的邏輯
，
其特徵是抽象符號的表示：
x
、
P（）
、
p
、
q
、
、
、
∧、
∨
、
┐
、
、
p
（p
∨
q）
、
q
（p
∨
q）
……並且最終形成可演算的符號系統。通常的說法：這是模仿數學方法來研究邏輯所取得的結果。這種結果也稱為數理邏輯，它的出現是邏輯學進入現代階段的標誌。這裡所說邏輯屬一階謂詞邏輯，它是現代邏輯中最基礎的部分。除一階謂詞邏輯外，現代邏輯學還發展出眾多的其他分支：高階邏輯、時序邏輯、模態邏輯，甚至如
p
∧
┐p
1
即
排中律不適用的邏輯等，似乎不同的假設與應用場景都可以去發展一個邏輯的門類。
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