高中數學:等差數列求和公式 求和的七種方法，你都會了嗎?

數學大師

文章來源：高中數學

等差數列是常見數列的一種，可以用AP表示，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。

等差數列求和公式

1.公式法

2.錯位相減法

3.求和公式

4.分組法

有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併即可。

5.裂項相消法

適用於分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式，即an=f（n+1）-f（n），然後累加時抵消中間的許多項。

【小結】此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。

注意：餘下的項具有如下的特點1、餘下的項前後的位置前後是對稱的。2、餘下的項前後的正負性是相反的。

6.數學歸納法

一般地，證明一個與正整數n有關的命題，有如下步驟：（1）證明當n取第一個值時命題成立；（2）假設當n=k（k≥n的第一個值，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

【例】求證：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + 。…… + n（n+1）（n+2）（n+3） = ［n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）］/5

證明：當n=1時，有：1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假設命題在n=k時成立，

於是：1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + 。…… + k（k+1）（k+2）（k+3） = ［k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）］/5

則當n=k+1時有：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + （k+1）（k+2）（k+3）（k+4）

=1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k（k+1）（k+2）（k+3） + （k+1）（k+2）（k+3）（k+4）

=［k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）］/5 + （k+1）（k+2）（k+3）（k+4）

=（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）*（k/5 +1）

=［（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5）］/5

即n=k+1時原等式仍然成立，歸納得證

7.並項求和法

（常採用先試探後求和的方法）【例】1-2+3-4+5-6+……+（2n-1）-2n

方法一：（並項）求出奇數項和偶數項的和，再相減。

方法二：（1-2）+（3-4）+（5-6）+……+［（2n-1）-2n］

方法三：構造新的數列，可借用等差數列與等比數列的複合。an=n（-1）^（n+1）

等差數列判定及其性質

等差數列的判定

（1）a（n+1）——a（n）=d （d為常數、n ∈N*）［或a（n）——a（n-1）=d，n ∈N*，n ≥2，d是常數］等價於{a（n）}成等差數列。

（2）2a（n+1）=a（n）+a（n+2） ［n∈N*］ 等價於{a（n）}成等差數列。

（3）a（n）=kn+b ［k、b為常數，n∈N*］ 等價於{a（n）}成等差數列。

（4）S（n）=A（n）^2 +B（n） ［A、B為常數，A不為0，n ∈N* ］等價於{a（n）}為等差數列。

特殊性質

在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。並且等於首末兩項之和；特別的，若項數為奇數，還等於中間項的2倍，即，a（1）+a（n）=a（2）+a（n-1）=a（3）+a（n-2）=···=2*a中

【例】數列：1，3，5，7，9，11中

a（1）+a（6）=12 ；

a（2）+a（5）=12 ；

a（3）+a（4）=12 ；

即，在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。並且等於首末兩項之和。

數列：1，3，5，7，9中

a（1）+a（5）=10 ；

a（2）+a（4）=10 ；

a（3）=5=［a（1）+a（5）］/2=［a（2）+a（4）］/2=10/2=5 ；

即，若項數為奇數，和等於中間項的2倍，另見，等差中項。

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