分形貓和她的飛鳥系列

作者 | 蔣迅

對分形貓（Fractal Kitty），我知道的不多。她的真名叫索菲亞·伍德（Sophia Wood），是一個美國公立中學的數學“specialist”。我想象不了這是一個什麼職位。她說自己輔導數學二十多年了，所以大概不是數學教師。但她的部落格真的很數學。美國數學會部落格專門做過介紹。我今天要說的是她的一個主題：Math Birds。

康托爾與鵜鶘

▲ 分形貓：American Peli-cantor

美洲鵜鶘（American white pelican）為鵜形目鵜鶘科下的一個鳥種， 分佈於美洲。分形貓借用諧音創造了一個詞“American Peli-cantor”，隱喻康托爾。這一點在上圖中非常明顯：左邊是呈現康託三分集的美麗的康托爾日落（Cantor SunSet），右邊空中的鵜鶘排列成康托爾塵埃（Cantor dust）。右邊還有一個公式，那是計算康托爾集的餘集的勒貝格測度。順便提一句，美洲鵜鶘飛起來確實是有隊形的，用康托爾塵埃來描述很貼切。

孿生素數與黃昏雀

▲ 分形貓：Evening Grosbeak

黃昏雀（evening grosbeak）這個名字其實是一場誤會。原來人們以為它大多在黃昏的時候唱歌，事實上它一整天都很喧鬧。但這不妨礙分形貓來聯想夜晚的星空。“當考慮那些孿生素數的螺旋星座時，您可能會問：“它們到底有多少？- 無限的？” 圖案的下面有最小的 5 對孿生素數（3，5）， （5，7）， （11，13）， （17，19）， （29， 31）。一隻漂亮的黃昏雀站在一個望遠鏡上，彷彿是在思考如何解決”孿生素數猜想“。

其實，模擬星空不一定是孿生素數。最早的這樣的分佈圖是蘭猶太裔數學家、核物理學家的美國數學家在一個科學會議上聽取一個“又長又無聊的”報告時信手塗鴉畫出來的。現在人們都稱其為烏拉姆螺旋（Ulam spiral）。按照這個思路，讀者可以畫出什麼有意思的天象圖呢？

斜率場與山雀

▲ 分形貓：Chestnut-backed Chicka-dy/dx

慄背山雀（chestnut-backed chickadee）分佈於北美地區。在行為上，慄背山雀與其他的山雀沒有什麼區別。它們在樹叢裡跳躍，在大樹上建窩，在房頂上歌唱。但這些與數學又有什麼關係呢？原來是它們的飛行啟發了分形貓。它們象過山車似的上下起伏式的飛行路徑讓她聯想到了斜率場。這種場在數學上是由常微分方程確定的。

人類的飛翔是從模仿鳥兒的飛行開始的。其實鳥的飛行有很多種模式。伴隨著這些模式又產生了不同的數學模型。不但有常微分方程，也有機率模型等。

平行六面體與西濱鷸

▲ 分形貓：Western Sand Parallelepiper

說到平行六面體（parallelepiped）的體積，人們大概能想到的是西濱鷸（western sandpiper），因為這種鳥的英文名字接近於平行六面體的名字。另外，它的學名來自亞里士多德。這種鳥在海灘上常常能被看到，它們有長長的腿和長長的啄，在沙子上迅速地走著，尋找食物。分形貓把它稱作“西沙平行六面鷸”（western sand parallelepiper），真是形象。

曲線引數方程與雨燕

▲ 分形貓：Spiraling Vaux‘s Swifts

沃氏雨燕（Vaux’s swift）與煙窗雨燕（chimney swift）有一個共同特點：它們晚上會在煙窗中過夜。它們螺旋式地集體落入到煙窗內的景象極為壯觀。我沒有看到過，但油管網站上有很好的影片。現在分形貓用曲線的引數表示式來表達它們的軌跡方程，很有趣。

大量的雨燕一起飛進一個小小的煙窗並不容易。它們不但要有定向，也要注意避免相互碰撞。數學上有一個簡單的模型叫做“Boid模型”。它有三個原則：間隔原則，調整對齊原則和內聚原則。電影工作者就是利用這個模型在螢幕上實現群鳥的飛行的。我們在《數學都知道3》第五章中有過介紹。

笛卡爾與樹燕

▲ 分形貓：Packing Violet Green Swallows

必須承認，這一篇有些牽強，紫綠樹燕（violet-green swallow）和數學真的是連不到一起。但這確實是有意思的一篇。笛卡爾定理（Descartes‘ theorem）說的是四個相切的圓的半徑滿足一個二次方程。從三個圓的半徑可以確定第四個圓的半徑。這是笛卡爾在 1643 年提出來的。分形貓把三個樹燕寶寶放進一個人工鳥窩裡，從圓形的視窗齊齊地探出頭來，它們與那個視窗正好構成了笛卡爾的四個圓。不過，在現實中，燕寶寶一般都只有一隻能探出頭來，最多也只有兩隻。那麼三個圓的關係是什麼呢？

分形貓把這副圖片定義為“紫綠樹燕的堆砌”讓我聯想到圓的堆砌（或者說是圓的填充，circle packing）。這個課題在數學領域裡是一個活躍的課題並有大量的應用。可惜她沒有在這方面體現出來。

摩爾斯密碼與啄木鳥

▲ 分形貓：Pileated Woodpecker

北美黑啄木鳥（pileated woodpecker）是一種大型啄木鳥，生活於北美的落葉林中，它是美國現存最大的啄木鳥，成鳥翼展可達 66 至 75 釐米。啄木鳥最大的特點就是啄木。“咚咚，咚咚咚”。它們是樹木的醫生。這個特點並不僅限於北美黑啄木鳥，但個人認為，這種啄木鳥特別漂亮。分形貓選了北美黑啄木鳥是可以理解的。那麼，“咚咚，咚咚咚”像什麼？像不像摩爾斯電碼？對，北美黑啄木鳥就是最優秀的通訊專家。

射影幾何與唐納雀

▲ 分形貓：Western Tanager

黃腹麗唐納雀（western tanager）是一種中型的美洲鳴禽。該物種為單型，目前沒發現任何亞種。我是第一次聽說沒有亞種的鳥類。但似乎從來沒有見到過。希望以後能有機會。分形貓將黃腹麗唐納雀與橘子、夏天和溫暖聯絡起來。圖中的唐納雀站在一個橘子的大圓上，剛剛撥開一個橘皮，背景中的橘皮呈現的是一個地球的五大陸、七大洋。一隻圓規似乎畫的是射影幾何。圓規架在一個虛擬的水杯邊上，杯中是一個橘子，大概是用來計算橘子的體積。不是所有的鳥都吃橘子，但黃腹麗唐納雀確是吃。美國人會把自家樹上的橘子切掉一半，吸引小鳥來吃。

基數與硃紅雀

▲ 分形貓：Cardinality Cardinal

“Cardinal”對數學家來說是基數，對鳥類學家來說則是一種鳥：主紅雀。主紅雀科（cardinal）又稱美洲雀科，是雀形目的一個科，其下生物分佈於南北美洲。該科下的臘嘴鵐屬原屬於裸鼻雀科，但後來發現它與硃紅雀科的幾個屬有更近的親緣關係，因此被美國鳥類學會列入該科。名稱上的巧合為分形貓提供了完美的素材。在我們觀賞美麗的主紅雀的同時，我們可以學習自然數集的可數性，實數集不可數的對角線證明法，可以看到自然數集和實數集的關係等等。這種鳥具有節日的喜慶顏色，所以經常出現在聖誕賀卡上。圖中的紅果是聖誕裝飾中必不可少的聖誕漿果。它的學名是巴西肖乳香（Schinus terebinthifolia）。順便地，看到一張雌雄同體的主紅雀，介紹給讀者。

國際象棋與翠鳥

▲ 分形貓：Belted Kingfisher

這副作品大概是最接近真實情形的。白腹魚狗（belted kingfisher）又名冠魚狗、帶魚狗，也叫翠鳥。顧名思義，這是一種水鳥，特別會捕捉小魚。人們常常在湖邊、河邊和溼地見到它站立在樹枝或木樁上。一旦選中水中的哪條游魚，她會一個猛子扎入水中，把魚兒夾在嘴裡。圖片完美地表現了這一場景。一隻翠鳥站在一個架子上，嘴裡叼著一隻小魚（魚形曲線，即 fish curve 表示）。另一方面，因為這種鳥的名字裡有一個“king”字，在圖中還能看到“king graph”（王圖）和一個國際象棋盤。所以在這張作品中我們看到了兩個數學主題：曲線和圖論。

濤日與斑唧鵐

▲ 分形貓：Spotted Tau-hee

這個圖片是在 2021 年 6 月 28 日發出的。數學人都知道，這是一個“濤日” （τ Day）。原來有些人對圓周率 π 不滿意，所以為了對抗“π日”，他們推出了這個濤日。其實 π 和 τ 的關係很簡單：τ = 2π。但到底該用 π 還是 τ 來描述圓的性質，我們不深入討論。我們關心的是這個濤日跟鳥有什麼關係？原來有一種鳥叫斑唧鵐。它的英文名字是 spotted towhee。分形貓利用了一個諧音哏。斑唧鵐屬小型鳴禽。一般主食植物種子。喙為圓錐形，與雀科的鳥類相比較為細弱，上下喙邊緣不緊密切合而微向內彎，因而切合線中略有縫隙。相對鵐科其他屬的鳥類，通常有較長的尾巴。吃種子和昆蟲，非繁殖期常叢集活動，繁殖期在地面或灌叢內築碗狀巢。圖片中，一隻斑唧鵐站在一個 τ 狀的樹枝上。它的前面是一個圓，上面用 τ 標出了所有特殊角 30，45，60，90，。。。，360 度。在《數學都知道2》第4章裡有關於“濤日”更詳細的內容。

虛數與䴉

▲ 分形貓：i-bis

謝謝分形貓，讓我知道了除了朱䴉（crested ibis）外，還有白臉彩䴉（white-faced ibis）。不過，我還是覺得朱䴉更漂亮一些。不服的請看上面的比較圖片。䴉的英文以“i”開頭，所以容易聯想到複數單位。這又是一個諧音哏。分形貓在一個複平面上畫了一隻正在覓食的白臉彩䴉。幾個最簡單的複數性質也出現在圖片中，可以被想象成是白臉彩䴉的食物吧，因為這種鳥是雜食物種，包括許多無脊椎動物，如昆蟲、水蛭、蝸牛、小龍蝦和蚯蚓。它也可能吃脊椎動物，如魚、蠑螈和青蛙。

我更想看到的是尤拉恆等式

π

。一個虛數單位“

” 把最著名的四個實數常數

和

π

整合到了一起。有沒有五種鳥兒能體現這個關係呢？

海倫公式與鷺鷥

▲ 來源：Heron’s Formula

“Heron”既是人的名字，又是一種鳥的名字。這就成了分形貓的的創作素材。鷺科（heron）在動物分類學上是鳥綱中的鵜形目中的一個科，也被稱為鷺類。本科的鳥類為大、中型涉禽，主要活動於溼地及附近林地，它們是溼地生態系統中的重要指示物種。鷺科包括許多種。上面是維基百科上的五種。人們可能不知道的是，鷺是黃鼠狼的天敵。數學上，“heron”對應於海倫公式（Heron’s Formula），在中國人們也稱之為“海倫-秦九韶公式”。巧合？分形貓甚至認為所有的數學公式和定理都應該用鳥來命名。這大概有點難度。

機率與烏鴉

▲ 分形貓：Probability in the Leaves

烏鴉（crow）在所有的鳥類裡大概是最聰明的。在美國，烏鴉不怕人，而且最喜歡在人類活動的地方飛來飛去，蹦蹦跳跳。它們時不時地在地面上翻看著樹葉，彷彿是在計算著什麼事件的機率。可能就是樹葉下有條蟲，有個果子或一塊人類扔掉的食物的機率吧。不管怎麼說，分形貓見到烏鴉時心情愉快的機率是 1。於是，就有了這幅“樹葉中的機率”。

烏鴉有多聰明可以從下面的鳥類學家做的測驗看出來。

鴿巢原理與鴿子

鳩鴿科（Columbidae）中的鳥一般是鴿子或者斑鳩。數學上，有一個鴿巢原理（pigeonhole principle）。一種簡單的表述法是：若有n個籠子和n+1只鴿子，所有的鴿子都被關在鴿籠裡，那麼至少有一個籠子有至少2只鴿子。這個原理聽起來簡單，但它有很深刻的應用。因此不可能不被分形貓收入她的Math Birds系列。奇怪的是她並沒有以通常的鴿巢原理為題材創作，而是以物理上的黑洞為背景。圖中的主體是一個黑色的圓盤。一隻鴿子正在飛向一個黑洞。這是黑洞是美國宇航局模擬的一個由薄吸積盤照亮的施瓦西黑洞地平線外的景象。這個圖案螺旋狀地逐漸縮小並進入到黑洞中。她把這幅畫稱作為“想象中的太空鴿巢”。鳩鴿科有320個物種。其中一個冠鳩（crowned pigeon）非常漂亮。希望讀者喜歡。還有沒有以鳥命名的數學定理呢？

重心與太平鳥

▲ 分形貓：“Two-Body” Problem： Barycenter vs Waxwing

最後一幅是分形貓的“二體問題：重心與太平鳥”。太平鳥屬（waxwing）或連雀科，在鳥類全基因組測序分類系統中是鳥綱雀形目中的一個科。這一科的鳥屬於小型雀類，體羽鬆軟，有些種類在翅尖有紅色，有如蠟封，因此在英文中稱它們為“蠟翅”（waxwing）。這個科的鳥廣泛分佈在歐亞大陸北部和北美洲。這種鳥和二體問題有什麼關係？我似乎缺少想象力。就留給讀者吧。