高數學習“瓶頸”突破之二:通俗化理解導數與微分概念

微分是求導嗎

大學階段的學習，理論性比較強的學科不少。面對這些學科的學習，不少學生感覺“枯燥無味”、“提不起學習興趣”、“不知道如何入手學習”……

高等數學更是高度抽象和難於理解的學科，特別是其中的導數、微分、不定積分等概念，不少學生學習之後不知道是什麼意思。先看一下如下的書面定義：

函式導數的定義

函式微分的定義

很多學生看了之後肯定頭的暈的，畢竟這樣的描述太專業，加上學生的理解能力的差異，導致不理解是正常的。很多學生學習導數與微分之後，求簡單函式的導數與微分基本上問題不多（學生代公式計算能力不錯！），不過計算沒問題了，還是不清楚導數、微分為何物。

先來個小測試，請你試著用簡短的一句話描述下列問題：

（1）什麼是函式的導數？

（2）什麼是函式的微分？

就算是學過了高等數學，很多小夥伴肯定一下子說不清楚的吧！為什麼會是這樣的呢？根據筆者多年的教學經驗，發現造成這樣情況的主要根源有三個方面：

（1）高等數學教材上對這些概念的描述，基本上都是按數學專業術語進行嚴密定義的；

（2）不少高數老師講解這些概念的時候，也是用數學術語來講解這些概念的定義；

（3）學生學習後弄不清楚這些知識的來龍去脈，不知道這些知識的產生是為了解決什麼問題（痛點）的？

下面就如何通俗化的理解這幾個概念作闡述。

先記住兩個關鍵詞：

（1）導數——變化率；

（2）微分——線性主部。

只要把關鍵詞的意思弄清楚了，這兩個概念的含義就八九不離十了！

一、弄清概念產生的目的

（1）導數的產生是為了解決什麼問題的？

導數概念的產生，那就要追溯到幾個世紀前那位被蘋果砸的科學家，你懂的，就是微積分創始人之一的牛頓。牛頓當時所遇到的問題是：在變速直線運動中，根據物體的運動學方程（路程s關於時間t的函式關係），物體在某一時刻t的瞬時速度如何求解？【瞬時速度就是物體的運動路程相對於時間的變化快慢程度，也就是路程s對時間t的變化率。】

微積分創始人之一牛頓

歸結為數學問題就是：如何求函式f（x）在某點x處的變化率？【變化率是指一個量相對於另一個量變化的快慢程度。】

▲劃重點：導數概念產生的目的，實際上是為了解決函式在某點處的變化率的問題。

（2）微分的產生是為了解決什麼問題的？

微分的產生是在近似計算過程中產生的，比如：一塊圓形鐵片，受熱膨脹後其半徑從r變到r+△r，則它的面積S大約增加了多少呢？【求面積改變數△S的近似值，一般只需求出△S的線性主部即可（線性主部的意思下文闡述）。】

歸結為數學問題就是：如何求函式y=f（x）在某點x處的改變數△y的近似值（線性主部）？

▲劃重點：微分概念產生的目的，實際上是為了解決函式在某點處改變數的線性主部的問題。

二、搞懂概念產生的來龍去脈

（1）求物體在某時刻瞬時速度，牛頓大師採用的方法就是讓物體在t時刻的基礎上，再運動一段時間△t，先求出△t時間內的平均速度（△t越小，求出的平均速度就越接近t時刻的瞬時速度。），當△t趨於0時，平均速度的極限就是所要求的t時刻的瞬時速度。

▲劃重點：物體的瞬時速度，就是路程s在t時刻的變化率（路程s相對於時間t的變化快慢程度）。

歸結到函式： 函式f（x）的導數，實質就是函式f（x）在某點x處的變化率。

（2）求圓形鐵片面積改變數△S的近似值。

［分析］△S=2π△r+（△r），其中2π△r是△S的主要部分，（△r）是次要部分。近似計算時就將次要部分省略，只保留主要部分，即：△S≈2π△r。其中△r是一次的，從而2π△r是關於△r的線性函式（一次函式影象是直線，所以一次函式又稱為線性函式。）

根據2π△r是△S的主要部分及關於△r的線性函式的兩個意思，就將2π△r稱為△S的線性主部，並進一步定義為面積S的微分。

▲劃重點：圓片面積的微分，就是面積改變數△S的線性主部。

歸結到函式： 函式f（x）的微分，實質就是函式f（x）在某點x處的改變數的線性主部。

三、學會一句話描述概念

弄清楚導數、微分概念產生的目的與來龍去脈後，就可以用通俗化的一句話描述它們：

（1）導數就是函式在某點處的變化率；【記住關鍵詞：變化率】

（2）微分就是函式在某點處的改變數的線性主部。【記住關鍵詞：線性主部】

導數與微分概念通俗化

這樣就清楚導數與微分為何物了，小夥伴在學習其他學科的一些抽象概念時，可以按照以上三個過程，一步一步將抽象概念通俗化理解！特別是導數概念的理解，可以幫助我們更好的理解經濟學中的邊際函式相關概念哦！

四、導數與微分的本質區別

透過以上闡述，導數與微分都是描述函式在某點處的變化情況的。但是，它們本質上是有區別的：

（1）導數解決的是函式在某點處

變化的快慢程度

問題；

（2）微分解決的是函式在某點處

變化的多少程度

問題。

比如：高鐵在某時刻速度是300km/小時，這就屬於導數；而高鐵在這個時刻1秒鐘之內大約運動了83米，這就屬於微分！

這樣的話，是不是導數與微分兩個概念就更清楚了。

【小測試】

請你試著用簡短的一句話描述，什麼是函式的不定積分？

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