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2020中考數學熱門考點之費馬點問題,掌握中考數學得高分
費馬點怎麼畫出來
離2020中考數學還有兩個多月的時間,為幫助初三學子從容複習,鳥叔整理中考數學熱門考點之費馬點問題,供大家免費學習、交流!
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皮耶·德·費馬,17世紀法國數學家,有“業餘數學家之王”的美譽,之所以叫業餘並非段位不夠,而是因為其主職是律師,兼職搞搞數學.費馬在解析幾何、微積分等領域都有卓越的貢獻,除此之外,費馬廣為人知的是以其名字命名的“費馬小定理”、“費馬大定理”等.
皮耶·德·費馬
據說費馬在提出“費馬大定理”時,在筆記本上寫道:我已經想到了一個絕妙的證明方法,但是這個地方不夠寫,我就不寫了吧。看得出那個時候紙確實挺貴的,然後,直到1995年,才由英國數學家懷爾斯證明出,而距離費馬逝世,已經過去了330年.
果然,數學搞得好的都是牛人.
言歸正傳,今天的問題不是費馬提出來的,是他解決的,故而叫費馬點.
【問題描述】
在△ABC內找一點P,使得PA+PB+PC最小.
【分析】在之前的最值問題中,我們解決的依據有:兩點之間線段最短、點到直線的連線中垂線段最短、作對稱化折線段為直線段、確定動點軌跡求最值等.
其實理論還是上面的理論,本題難點在於有3條線段,我們需要對這三條線段作一些位置上的變化,如果能變換成在一條直線上,問題就能解決了!
若點P滿足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°,則PA+PB+PC值最小,P點稱為該三角形的費馬點.
接下來討論3個問題:
(1)如何作三角形的費馬點?(是什麼)
(2)為什麼是這個點?(為什麼)
(3)費馬點怎麼考?(怎麼辦)
01 如何作三角形的費馬點?
問題要從初一學到的全等說起:
(1)如圖,分別以△ABC中的AB、AC為邊,作等邊△ABD、等邊△ACE.
(2)連線CD、BE,即有一組手拉手全等:△ADC≌△ABE.
(3)記CD、BE交點為P,點P即為費馬點.(到這一步其實就可以了)
(4)以BC為邊作等邊△BCF,連線AF,必過點P,有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°.
在圖三的模型裡有結論:
(1)∠BPD=60°;
(2)連線AP,AP平分∠DPE.
有這兩個結論便足以說明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°.
原來在“手拉手全等”就已經見過了呀,只是相逢何必曾相識!
但是在這裡有個小小的要求,細心的同學會發現,這個圖成立的一個必要條件是∠BAC<120°,若∠BAC≥120°,這個圖就不是這個圖了,會長成這個樣子:
此時CD與BE交點P點還是我們的費馬點嗎?
不不不,這時候就不是了,顯然P點到A、B、C距離之和大於A點到A、B、C距離之和.
是的,你想得沒錯,此時三角形的費馬點就是A點!
02 為什麼是這個點?
為什麼P點滿足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°,PA+PB+PC值就會最小呢?
歸根結底,還是要重組這裡3條線段:PA、PB、PC的位置,而重組的方法是構造旋轉!
在上圖3中,如下有△ADC≌△ABE,可得:CD=BE.
類似的手拉手,在圖4中有3組,可得:AF=BE=CD.
很巧,它們仨的長度居然一樣長!
更巧的是,其長度便是我們要求的PA+PB+PC的最小值,這一點是可以猜想得到的,畢竟最小值這個結果,應該也是個特別的值!
接下來才是真正的證明:
考慮到∠APB=120°,∴∠APE=60°,則可以AP為邊,在PE邊取點Q使得PQ=AP,則△APQ是等邊三角形.△APQ、△ACE均為等邊三角形,且共頂點A,故△APC≌△AQE,PC=QE.
以上兩步分別轉化PA=PQ,PC=QE,故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE.
沒有對比就沒有差別,我們換個P點位置,如下右圖,同樣可以構造等邊△APQ,同樣有△APC≌△AQE,轉化PA=PQ,PC=QE,
顯然,PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE.
還剩下第3個問題!
如果說費馬點以前還算是課外的拓展內容,那現在,已經有人把它搬上了中考舞臺!
03 費馬點怎麼考?
看看今年2019武漢中考填空最後一題:
問題背景:如圖1,將△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△ADE,DE與BC交於點P,可推出結論:PA+PC=PE.
問題解決:如圖2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=4倍根號2,點O是△MNG內一點,則點O到△MNG三個頂點的距離和的最小值是______.
【分析】本題的問題背景實際上是提示瞭解題思路,構造60°的旋轉,當然如果已經瞭解了費馬點問題,直接來解決就好了!
如圖,以MG為邊作等邊△MGH,連線NH,則NH的值即為所求的點O到△MNG三個頂點的距離和的最小值.(此處不再證明)
過點H作HQ⊥NM交NM延長線於Q點,
根據∠NMG=75°,∠GMH=60°,可得∠HMQ=45°,
∴△MHQ是等腰直角三角形,∴MQ=HQ=4,∴NH=2倍根號29.
【練習1】
如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=AC=1,P是△ABC內一點,求PA+PB+PC的最小值.
【分析】如圖,以AD為邊構造等邊△ACD,連線BD,BD的長即為PA+PB+PC的最小值.至於點P的位置?這不重要!
如何求BD?考慮到△ABC和△ACD都是特殊的三角形,過點D作DH⊥BA交BA的延長線於H點,根據勾股定理,BD=BH+DH即可得出結果.
【練習2】
如圖,已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,點M為矩形內一點,點E為BC邊上任意一點,則MA+MD+ME的最小值為______.
【分析】依然構造60°旋轉,將三條折線段轉化為一條直線段.分別以AD、AM為邊構造等邊△ADF、等邊△AMG,連線FG,
∴ME+MA+MD=ME+EG+GF
過F作FH⊥BC交BC於H點,線段FH的長即為所求的最小值.
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