解決了數學危機，卻被逼瘋死在精神病院

怎麼

又來了

在上篇文章中，我們說到由柯西與康托爾為代表的數學家們，透過建立起了嚴謹的極限理論，和實數理論成功

解決第二次數學危機

。（傳送門：互掐了半輩子的兩個數學巨頭，到最後連單身問題都沒解決）

就當大家覺得總算可以消停會時，

第三次危機又來了

！

又是一個找茬的

然而這次危機的引發者，恰恰也是解決了第二次危機的數學家——

康托爾。

格奧爾格·康托爾（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp）

格奧爾格·康托爾，德國數學家，出生於俄國聖彼得堡，1856年全家遷居德國的法蘭克福，先在一所中學，後在威斯巴登的一所大學預科學校學習。

1873年11月29日，康托爾給戴德金 （Julius Wilhelm Richard Dedekind ） 寄了一封信 ，信中提到：

正整數的集合（n）與實數的集合（x）之間能否把它們一一對應起來。

同年12月7日，康托爾又寫信給戴德金，說他已能成功地證明實數的“集體”是不可數的，也就是不能同正整數的“集體”一一對應起來。

這標誌著集合論的誕生。

十九世紀下半葉，他創立了著名的集合論。

但在集合論剛產生時，遭到了許多人的猛烈攻擊。

尤其有一個叫克羅耐克的數學家，處處與康托爾作對，跟針對牛頓的貝克萊 一樣，克羅耐克也有一句名言：

“上帝創造了正整數，其餘的是人的工作”。

克羅內克認為，

數學的物件必須是可構造出來的，不可用有限步驟構造出來的都是可疑的，不應作為數學的物件。

他反對無理數和連續函式的理論，並且說康托爾的集合論空空洞洞毫無內容。

由於連續統假設長期得不到證明，以及克羅耐克在當時的數學界權勢很大，康托爾不斷的受到各方面打壓，甚至由於過度緊張得了精神病，最後死在了精神病院裡。

後來有越來越多的數學家，接受了康托爾這一開創性成果，

認為從自然數與康托爾集合論出發，可建立起整個數學大廈—“一切數學成果可建立在集合論基礎上”。

一波未平一波又起

但好景不長，又有一個震驚數學界的訊息傳出來了：

集合論是有漏洞的！

1903年，數學家羅素（Bertrand Russell，1872—1970）提出的一個悖論：

若S由一切不是自身元素的集合所組成，那S包含S嗎？

通俗的描述就是：有一位理髮師，他只給所有不給自己理髮的人理髮，不給那些給自己理髮的人理髮。 問：他要不要給自己理髮呢？如果他給自己理髮，他就屬於那些給自己理髮的人，因此他不能給自己理髮。如果他不給自己理髮，他就屬於那些不給自己理髮的人，因此他就應該給自己理髮。

說到這個羅素，也是大有來頭

，不僅是哲學家、數學家、邏輯學家、歷史學家、文學家，也是分析哲學的主要創始人，世界和平運動的倡導者和組織者。

羅素出生在英國的一個貴族家庭，祖父曾擔任英國首相。雖然家裡很有錢，但不幸的是，在羅素年幼的時候，父母和祖父相繼離世，他從小由祖母照顧。

祖母出身於一個貴族的虔誠教徒的家庭，在道德方面對羅素要求非常嚴格。羅素12歲生日時，祖母送給他一本《聖經》，書的扉頁上題寫著：

“不可隨眾行惡”

。這句話成為羅素一生道德上的座右銘。

羅素的童年和少年時代是孤獨的，他沒有像其他富二代一樣上貴族學校，而只是在家裡接受保姆和家庭教師的教育。

祖母特別講究規矩和清教徒的美德，而且不允許懷疑。但

數學是可以懷疑的，因為數學沒有倫理內容，

於是羅素喜歡上了數學。

同樣的，羅素也有一句名言：

在數學中最令我欣喜的，是那些能夠被證明的東西。

羅素的這個悖論看似簡單明瞭，卻輕輕鬆鬆的摧毀了集合理論！許多把數學作為信仰的數學家，心態爆炸。

他還把自己的發現告訴了德國著名邏輯學家弗雷格（ Friedrich Ludwig Gottlob Frege）。

弗雷格（Friedrich Ludwig Gottlob Frege）

然而，看完信後的費雷格差點吐血。因為這時候，弗雷格的關於集合的基礎理論正好完稿付印。

因為這個悖論的誕生，導致了他的著作《算術原理》中的第五公理是錯的。

最後他在自己著作的末尾寫道：

“一個科學家所碰到的最倒黴的事，莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所幹的工作的基礎崩潰了。”

第三次數學危機的解決方案

為了解決這次數學危機，數學家們紛紛提出自己的解決方案。

首先進行這個工作的是德國數學家策梅羅（ Zermelo），他提出七條公理，建立了一種不會產生悖論的集合論。

又經過德國的另一位數學家弗芝克爾（Fraenkel-Conrat，Heinz）的改進，形成了一個無矛盾的集合論公理系統。即所謂ZF公理系統。

（1）外延公理（容積公理）：一個集合完全由它的元素所決定。如果兩個集合含有的元素相同，則它們是相等 ［1］ 的。（2）分離公理模式：“對任意集合X和任意對X的元素有定義的邏輯謂詞P（z），存在集合Y，使z∈Y 當且僅當z∈X而且P（z）為真”也就是說：若A是一個集合，那麼可以斷定，B={x∈A|P（x）}也是一個集合。（3）配對公理：對任意a和b是物件，則存在一個集合{a，b}，其僅有的元素是a和b。也就是說：我們可以用一個集合Z={X，Y}來表示任給的兩個集合X，Y，稱之為X與Y的無序對。（4）並集公理：任給一族M，存在UM（稱為M的並）它的元素恰好為M中所含元素的元素。也就是說：我們可以把族M的元素的元素彙集到一起，組成一個新集合。注：為了方便描述，定義族表示其元素全為集合的集合。（5）冪集公理（子集之集公理）：對任意集合X，存在集合P（X），它的元素恰好就是X的一切子集。也就是說：存在以已知集合的一切子集為元素的集合。（6）無窮公理：存在歸納集。（存在一個集合，空集是其元素，且對其任意元素x，x+=x∪{x}也是其元素）也就是說，存在一集合x，它有無窮多元素。（7）替換公理模式（置換公理）：也就是說，對於任意的函式F（x），對於任意的集合T，當x屬於T時，F（x）都有定義（ZF中唯一的物件是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合S，使得對於所有的x屬於T，在集合S中都有一元素y，使y=F（x）。也就是說，由F（x）所定義的函式的定義域在T中的時候，那麼它的值域可限定在S中。（8）正則公理：也叫基礎公理。所有集都是良基集。說明一個集合的元素都具有最小性質，例如，不允許出現x屬於x的情況。準確的定義：“對任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y為空集。”以上8條公理組成了ZF公理系統，再加上選擇公理，則組成了ZFC公理系統

即使歷史上的三次數學危機，給人們帶來了極大的麻煩，但危機的產生也使人們認識到了現有理論的缺陷，科學中悖論的產生常常預示著人類的認識將進入一個新階段。

所以悖論是科學發展的產物，又是科學發展源泉之一。

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